4.2. Обнаружение и оценка на фоне белого гауссова шума

В этом параграфе формулируются и решаются задачи обнаружения и оценки для случая, когда помехой является аддитивный белый гауссов шум.

Рассмотрим сначала задачу обнаружения применительно к простому бинарному случаю, общему бинарному случаю и многоальтернативному случаю. Используя понятие достаточной статистики, просто выводятся структуры оптимального приемника и оценивается их помехоустойчивость. Наконец, мы исследуем восприимчивость оптимального приемника к различного рода частным допущениям нашей модели.

Как было показано при классическом рассмотрении, задачи обнаружения и оценки тесно связаны; линейное оценивание является по существу тем же самым, что и простое бинарное обнаружение. Когда мы перейдем к рассмотрению нелинейной задачи оценки, то будут развиты новые аспекты как в смысле определения структуры устройства оценки, так и в смысле оценки его помехоустойчивости.

4.2.1. Обнаружение сигналов в аддитивном белом гауссовом шуме

Простое бинарное обнаружение. В простейшей задаче бинарного обнаружения принятый сигнал по одной из гипотез представляет собой полностью известный сигнал Фоне аддитивного белого

гауссова шума с нулевым средним значением и Спектральной плотностью принятый сигнал по другой гипотезе представляет собой один шум Таким образом,

Для удобства примем, что

так что есть энергия принятого сигнала. Задача заключается в том, чтобы наблюдая на интервале , решить, какая из гипотез или — является истинной. Критерием может быть либо критерий Неймана — Пирсона, либо критерий Байеса.

Следующие соображения облегчат нам решение данной задачи.

1. Результат нашего наблюдения есть непрерывное во времени случайное колебание. Первый шаг — свести его к множеству случайных величин (возможно, счетному бесконечному множеству).

2. Одним из методов является разложение в ряд (см. гл. 3):

Когда имеется К коэффициентов ряда которые можно обозначить вектором . В последующем рассмотрении мы опустим подстрочный индекс и будем обозначать коэффициенты через

Рис. 4.10. Генерация достаточной статистики.

3. В гл. 2 мы видели, что если преобразовать в два независимых вектора 1 (достаточная статистика) и у, как показано на рис. 4.10, то наше решение может основываться только на 1, поскольку значения у не зависят от гипотезы. Преимущество данного метода заключается в том, что размерность пространства решений сводится к размерности вектора 1. Поскольку рассматриваемая задача является бинарной, то, как известно, вектор 1 будет одномерным.

Этот метод прямо ведет к цели. Если выбрать в качестве первой ортонормированной функции то первый коэффициент разложения будет нормальной случайной величиной

Остальные нормальные случайные величины, которые можно получить, используя некоторый произвольный ортонормальный ряд, члены которого ортогональны

Из гл. 3 (44) известно, что

Так как совместно нормальны, то они являются статистически независимыми (см. свойство 3 на стр. 221).

Видно, что только зависит от того, какая гипотеза истинна. Далее, все статистически независимы от Таким образом, есть достаточная статистика Прочие соответствуют у. Поскольку они не влияют на решение, то нет необходимости и вычислять их.

Рис. 4.11. Корреляционный приемник.

Отсюда непосредственно следует несколько эквивалентных структур приемного устройства. Структура рис. 4.11 носит название корреляционного приемника. Он ставит входное колебание в соответствие (коррелирует) хранящейся в памяти приемника копии сигнала Выходное колебание есть являющееся достаточной статистикой и гауссовой случайной величиной. Коль скоро получено, задача на принятие решения становится тождественной классической задаче, рассмотренной в гл. 2 (в частности пример 1, стр. 39—41). Для вынесения решения необходимо сравнить I с порогом.

Эквивалентная реализация показана на рис. 4.12. Импульсная характеристика линейной системы есть просто обращенный и сдвинутый во времени сигнал

Выходное колебание в момент времени есть требуемая статистика Такой приемник называется приемником с согласованным фильтром. (Он впервые был разработан Нортом [201). Математически обе структуры тождественны. Выбор используемой структуры зависит исключительно от простоты реализации.

Рис. 4.12. Приемник с согласованным фильтром.

Точно так же, как в примере 1 гл. 2, достаточная статистика по любой гипотезе является гауссовой. Легко определить ее среднее и дисперсию:

Таким образом, можно использовать результаты (64) — (69) гл. 2, полагая

В этом случае непосредственно применимы кривые рис. 2.9, а и 2.9, б гл. 2, которые воспроизведены на рис. 4.13 и 4.14. Видно, что достоверность зависит только от энергии принимаемого сигнала и спектральной плотности шума, а форма сигнала значения не имеет. Это обстоятельство интуитивно представляется вполне логичным, поскольку по всем координатам шум одинаков.

Ключом к упрощению решения задачи обнаружения служит понятие достаточной статистики, использование которого позволяет свести пространство наблюдений с бесконечным числом измерений к одномерному пространству решений.

Очевидно, что даже если мы и не осознаем того, что достаточная статистика имеется в нашем распоряжении, нам следует использовать тот же приемник. Чтобы показать это, мы непосредственно построим отношение правдоподобия. Три обстоятельства позволяют нам легко получить решение задачи.

1. Если аппроксимировать некоторым конечным рядом чисел то получим задачу классической теории обнаружения, которую мы можем решить.

Рис. 4.13. Рабочая характеристика приемника: известный сигнал на фоне аддитивного белого гауссова шума.

Рис. 4.14. Зависимость вероятности обнаружения от

2. Если выбрать ряд так, чтобы наблюдения были условно независимы, т. е.

то задача становится легко разрешимой.

3. Поскольку известно, что для полного представления необходим бесконечный ряд чисел, то будем искать решение в такой удобной для нас форме, чтобы можно было положить Обозначим приближение, при котором используется К коэффициентов, через Таким образом,

где

и принадлежат к произвольной полной ортонорма ьной системе функций. Используя (14), можно видеть, что по гипотезе

а по гипотезе

Коэффициенты соответствуют разложению сигнала в ряд

и

Все являются гауссовыми величинами с известными статистиками

Поскольку шум является белым, эти коэффициенты независимы в любой системе координат. Отношение правдоподобия имёет вид

Логарифмируя и приводя подобные члены, получим

Эти две суммы легко записать в виде интегралов. По теореме Парсеваля

и

Теперь мы имеем логарифм отношения правдоподобия в форме, удобной для перехода к пределу:

Первый член есть просто достаточная статистика, которая была получена выше. Второй член есть смещение. Окончательно критерий отношения правдоподобия имеет вид

(Напомним из гл. 2, что есть постоянная величина, которая зависит от стоимостей и априорных вероятностей при критерии Байеса и от требуемой вероятности ложной тревоги при критерии Неймана—Пирсона.) Следует заметить, что хотя плотность вероятности не является вполне определенной для любой из гипотез, отношение правдоподобия определяется полностью.

Прежде чем перейти к более общим задачам, следует подчеркнуть два отдельных момента задачи обнаружения сигналов.

1. Сначала мы сводим принятое колебание к единственному числу, являющемуся точкой в пространстве решений. Эта процедура физически реализуется операцией корреляции; она инвариантна к выбираемому критерию решения. Указанная инвариантность имеет большое значение, поскольку она позволяет нам строить устройство обработки сигналов, не связывая себя с выбором какого-либо конкретного критерия.

2. Коль скоро принятое колебание отображено в пространство решений, нам остается учитывать только существенные особенности задачи. Но раз мы перешли к пространству решений, задача становится точно такой же, какая изучалась в гл. 2. Фактически принятое колебание не имеет уже значения и все физические ситуации, которые приводят к одной и той же картине в пространстве решений, являются для наших целей идентичными. Из нашего простого примера видно, что все сигналы одинаковой энергии отображаются в одну и ту же точку пространства решений. Вполне очевидно поэтому, что форма сигнала значения не имеет.

Разделение двух указанных частей задачи ведет к более четкому пониманию фундаментальных вопросов.

Общая бинарная задача обнаружения на фоне белого гауссова шума. Результаты для простой бинарной задачи легко распространить на общий бинарный случай. Пусть

где нормированные, но необязательно ортогональные сигналы. Обозначим коэффициент корреляции между этими сигналами через

(Заметим, что так как сигналы являются нормированными.) Выберем первые две ортогональные функции следующим образом:

Видно, что получается путем вычитания компоненты коррелированной с и нормировки результата. Остальные образуют произвольный ортонормальный ряд, члены которого ортогональны и выбраны так, что вся система является полной. Коэффициенты равны

Все за исключением не зависят от того, какая из гипотез является истинной, и статистически независимы от Поэтому адекватной является двумерная область решений, изображенная на рис. 4.15, а. Среднее значение величины по каждой из координат равно

и

Критерий отношения правдоподобия следует непосредственно из (327) §. 2.6

или, после приведения подобных членов и перегруппировки результата,

Таким образом, только произведение на разностный вектор используется для принятия решения. Поэтому пространство решений разделяется на две части прямой линией, перпендикулярной вектору как показано на рис. 4.15, б. Компоненты шума вдоль осей независимы и имеют одинаковые распределения.

Рис. 4.15. Пространства решений.

Заметим, что координаты можно преобразовать, как показано на рис. 4.15, б. Компоненты шума по новым координатам по-прежнему независимы, только коэффициент по координате I зависит от выбора гипотезы, а с коэффициентом у можно не считаться.

Рис. 4.16. Оптимальный корреляционный приемник, общая бинарная задача.

Следовательно, можно упростить приемник путем генерирования I вместо Функция, необходимая для получения статистики, есть просто нормированный вариант разностного сигнала. Обозначим разностный сигнал через

Нормированная функция имеет вид

Схема приемника показана на рис. 4.16. [Заметим, что этот результат можно было бы получить непосредственно выбором в качестве первой ортонормированной функции.]

Таким образом, бинарная задача вновь свелась к одномерному пространству решений. Статистика I является гауссовой

Дисперсия, как и прежде, равна Таким образом,

Заметим, что если нормировать систему координат так, чтобы дисперсия шума была единичной, то будет расстоянием между двумя сигналами. Получающиеся при этом вероятности равны

[Эти формулы совпадают с (2.67) и

Отсюда ясен наилучший выбор сигналов. Показатель достоверности есть монотонная функция расстояния между сигналами в пространстве решений. Для фиксированной энергии наилучшие характеристики получаются при т. е. при

Рис. 4.17. Пространство решений.

Видим, что и на этот раз форма сигнала значения не имеет.

Когда критерием служит минимальная вероятность ошибки (что вполне логично в случае бинарной системы связи), а априорные вероятности двух гипотез равны, границы области решений имеют простую интерпретацию: это перпендикуляр к отрезку прямой, соединяющей точки сигналов, проведенный через его середину (рис. 4.17). Таким образом при этих условиях приемник можно интерпретировать как приемник минимального расстояния. Вероятность ошибки равна

Если к тому же сигналы имеют одинаковую энергию, то упомянутый перпендикуляр проходит через начало координат, и мы просто выбираем сигнал, который в наибольшей степени коррелирован с

Такой приемник может быть назван приемником осуществляющим выбор наибольшего сигнала (рис. 4.18).

Эти рассуждения можно прямо распространить на случай позиций.