Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.2. Обнаружение и оценка на фоне белого гауссова шумаВ этом параграфе формулируются и решаются задачи обнаружения и оценки для случая, когда помехой является аддитивный белый гауссов шум. Рассмотрим сначала задачу обнаружения применительно к простому бинарному случаю, общему бинарному случаю и многоальтернативному случаю. Используя понятие достаточной статистики, просто выводятся структуры оптимального приемника и оценивается их помехоустойчивость. Наконец, мы исследуем восприимчивость оптимального приемника к различного рода частным допущениям нашей модели. Как было показано при классическом рассмотрении, задачи обнаружения и оценки тесно связаны; линейное оценивание является по существу тем же самым, что и простое бинарное обнаружение. Когда мы перейдем к рассмотрению нелинейной задачи оценки, то будут развиты новые аспекты как в смысле определения структуры устройства оценки, так и в смысле оценки его помехоустойчивости. 4.2.1. Обнаружение сигналов в аддитивном белом гауссовом шумеПростое бинарное обнаружение. В простейшей задаче бинарного обнаружения принятый сигнал по одной из гипотез представляет собой полностью известный сигнал гауссова шума
Для удобства примем, что
так что Следующие соображения облегчат нам решение данной задачи. 1. Результат нашего наблюдения есть непрерывное во времени случайное колебание. Первый шаг — свести его к множеству случайных величин (возможно, счетному бесконечному множеству). 2. Одним из методов является разложение в ряд (см. гл. 3):
Когда
Рис. 4.10. Генерация достаточной статистики. 3. В гл. 2 мы видели, что если Этот метод прямо ведет к цели. Если выбрать в качестве первой ортонормированной функции
Остальные
Из гл. 3 (44) известно, что
Так как Видно, что только
Рис. 4.11. Корреляционный приемник. Отсюда непосредственно следует несколько эквивалентных структур приемного устройства. Структура рис. 4.11 носит название корреляционного приемника. Он ставит входное колебание Эквивалентная реализация показана на рис. 4.12. Импульсная характеристика линейной системы есть просто обращенный и сдвинутый во времени сигнал
Выходное колебание в момент времени
Рис. 4.12. Приемник с согласованным фильтром. Точно так же, как в примере 1 гл. 2, достаточная статистика
Таким образом, можно использовать результаты (64) — (69) гл. 2, полагая
В этом случае непосредственно применимы кривые рис. 2.9, а и 2.9, б гл. 2, которые воспроизведены на рис. 4.13 и 4.14. Видно, что достоверность зависит только от энергии Ключом к упрощению решения задачи обнаружения служит понятие достаточной статистики, использование которого позволяет свести пространство наблюдений с бесконечным числом измерений к одномерному пространству решений. Очевидно, что даже если мы и не осознаем того, что достаточная статистика имеется в нашем распоряжении, нам следует использовать тот же приемник. Чтобы показать это, мы непосредственно построим отношение правдоподобия. Три обстоятельства позволяют нам легко получить решение задачи. 1. Если аппроксимировать
Рис. 4.13. Рабочая характеристика приемника: известный сигнал на фоне аддитивного белого гауссова шума.
Рис. 4.14. Зависимость вероятности обнаружения от 2. Если выбрать ряд
то задача становится легко разрешимой. 3. Поскольку известно, что для полного представления
где
и
а по гипотезе
Коэффициенты
и
Все
Поскольку шум является белым, эти коэффициенты независимы в любой системе координат. Отношение правдоподобия имёет вид
Логарифмируя и приводя подобные члены, получим
Эти две суммы легко записать в виде интегралов. По теореме Парсеваля
и
Теперь мы имеем логарифм отношения правдоподобия в форме, удобной для перехода к пределу:
Первый член есть просто достаточная статистика, которая была получена выше. Второй член есть смещение. Окончательно критерий отношения правдоподобия имеет вид
(Напомним из гл. 2, что Прежде чем перейти к более общим задачам, следует подчеркнуть два отдельных момента задачи обнаружения сигналов. 1. Сначала мы сводим принятое колебание к единственному числу, являющемуся точкой в пространстве решений. Эта процедура физически реализуется операцией корреляции; она инвариантна к выбираемому критерию решения. Указанная инвариантность имеет большое значение, поскольку она позволяет нам строить устройство обработки сигналов, не связывая себя с выбором какого-либо конкретного критерия. 2. Коль скоро принятое колебание отображено в пространство решений, нам остается учитывать только существенные особенности задачи. Но раз мы перешли к пространству решений, задача становится точно такой же, какая изучалась в гл. 2. Фактически принятое колебание не имеет уже значения и все физические ситуации, которые приводят к одной и той же картине в пространстве решений, являются для наших целей идентичными. Из нашего простого примера видно, что все сигналы одинаковой энергии отображаются в одну и ту же точку пространства решений. Вполне очевидно поэтому, что форма сигнала значения не имеет. Разделение двух указанных частей задачи ведет к более четкому пониманию фундаментальных вопросов. Общая бинарная задача обнаружения на фоне белого гауссова шума. Результаты для простой бинарной задачи легко распространить на общий бинарный случай. Пусть
где
(Заметим, что
Видно, что
Все
и
Критерий отношения правдоподобия следует непосредственно из (327) §. 2.6
или, после приведения подобных членов и перегруппировки результата,
Таким образом, только произведение
Рис. 4.15. Пространства решений. Заметим, что координаты можно преобразовать, как показано на рис. 4.15, б. Компоненты шума по новым координатам по-прежнему независимы, только коэффициент по координате I зависит от выбора гипотезы, а с коэффициентом у можно не считаться.
Рис. 4.16. Оптимальный корреляционный приемник, общая бинарная задача. Следовательно, можно упростить приемник путем генерирования I вместо
Нормированная функция имеет вид
Схема приемника показана на рис. 4.16. [Заметим, что этот результат можно было бы получить непосредственно выбором Таким образом, бинарная задача вновь свелась к одномерному пространству решений. Статистика I является гауссовой
Дисперсия, как и прежде, равна
Заметим, что если нормировать систему координат так, чтобы дисперсия шума была единичной, то
[Эти формулы совпадают с (2.67) и Отсюда ясен наилучший выбор сигналов. Показатель достоверности
Рис. 4.17. Пространство решений. Видим, что и на этот раз форма сигнала значения не имеет. Когда критерием служит минимальная вероятность ошибки (что вполне логично в случае бинарной системы связи), а априорные вероятности двух гипотез равны, границы области решений имеют простую интерпретацию: это перпендикуляр к отрезку прямой, соединяющей точки сигналов, проведенный через его середину (рис. 4.17). Таким образом при этих условиях приемник можно интерпретировать как приемник минимального расстояния. Вероятность ошибки равна
Если к тому же сигналы имеют одинаковую энергию, то упомянутый перпендикуляр проходит через начало координат, и мы просто выбираем сигнал, который в наибольшей степени коррелирован с Такой приемник может быть назван приемником осуществляющим выбор наибольшего сигнала (рис. 4.18). Эти рассуждения можно прямо распространить на случай
|
1 |
Оглавление
|