6.2.3. Нереализуемые фильтры

Вместо требования реализуемости устройства обработки рассмотрим оптимальную нереализуемую систему. Это соответствует случаю Иначе говоря, мы используем вход в моменты времени позднее, чем для определения оценки в момент

Для случая, когда можно видоизменить (55) так, что получим

В данном случае отлична нуля при всех Поскольку сюда входят и значения фильтр будет нереализуемым. Наибольший интерес представляет случай когда Тогда (117) принимает вид

Мы ввели подстрочный индекс с тем, чтобы подчеркнуть, что фильтр является нереализуемым. Так как (118) справедливо при любых его можно решить при помощи преобразования

Из свойства 4 средний квадрат ошибки равен

Заметим, что является средним квадратом ошибки точечной оценки. Согласно теореме Парсеваля

Подстановкой (119) в (121) получим

В частном случае, когда

а сообщение и помеха некоррелированы, (122) сводится к

В примере, рассмотренном на стр. 564, помеха считалась белым шумом. Следовательно,

и

Вернемся теперь к общему случаю. Нетрудно показать, что выражение (121) равно также

Сравнивая (127) и (107), видим, что эффект использования нереализуемого фильтра равноценен допущению бесконечной задержки полезного сигнала. Этот результат представляется интуитивно логичным. В нереализуемом фильтре мы позволяем себе, разумеется мысленно, использование всего прошлого и будущего входного сигнала и воспроизводим желательный сигнал в настоящий момент времени. Практический путь приблизиться к такому методу обработки — это ждать, пока не поступит как можно большая часть будущего входного сигнала, а требуемый выходной сигнал выдавать в более поздний момент времени. Во многих проблемах связи именно ошибка за счет нереализуемости является фундаментальным ограничением систем.

Наиболее существенные моменты, которые необходимо иметь в виду при рассмотрении нереализуемых фильтров, указаны ниже.

1. Средний квадрат ошибки при использовании нереализуемого линейного фильтра служит нижней границей среднего квадрата ошибки для любого реализуемого линейного фильтра. Это соответствует неустранимой ошибке (или ошибке при бесконечном времени задержки), с которой мы встречались на стр. 570. Вычисление при помощи (124) обычно легче, чем вычисление при помощи (100) или (106). Поэтому логично производить предварительные вычисления, даже если мы интересуемся только задачей реализуемой фильтрации.

2. Можно построить реализуемый фильтр, ошибка которого приближается к ошибке нереализуемого фильтра, допуская задержку в выходном сигнале. Можно получить средний квадрат ошибки сколь угодно близкий к неустранимой ошибке путем увеличения этой задержки. Практически задержка сигнала во времени, в несколько раз превышающая величину, обратную эффективной ширине спектра обычно дает средний квадрат ошибки, близкий к неустранимой ошибке.

Вернемся теперь к проблеме реализуемой фильтрации. В § 6.2.1 и 6.2.2 был построен алгоритм, который дает конструктивный метод отыскания оптимального реализуемого фильтра и результирующей среднеквадратической ошибки. Другими словами, при наличии необходимой информации всегда можно (по крайней мере в принципе) посредством специальной процедуры получить оптимальный фильтр и результирующую вероятность ошибки. На практике, однако, алгебраическая сложность заставляла большинство инженеров, изучающих оптимальные фильтры, использовать однополосный спектр в качестве канонического спектра сообщения. Отсутствие выражения для среднеквадратической ошибки в замкнутой форме, которое не требовало бы разложения спектра, делало, по существу, невозможным исследование влияния различных спектров сообщений.

В следующем параграфе мы обсудим специальный класс задач линейной оценки и выведим выражение в замкнутой форме для минимальной среднеквадратической ошибки.