4.4.1. Случайные фазовые углы

В этом параграфе мы рассмотрим несколько физических задач, в которых неопределенность в принимаемых сигналах обусловлена случайной фазой. Первой интересующей нас задачей является радиолокационная задача. Передаваемый сигнал представляет узкополосное колебание, которое может быть модулировано как по амплитуде, так и по фазе. Его можно записать в виде

Два типичных сигнала показаны на рис. 4.50. Функция соответствует огибающей и нормирована так, что излучаемая энергия равна Функция соответствует фазовой модуляции. Обе функции имеют низкую по сравнению с с частоту.

Для данного случая будем предполагать, что нам просто нужно решить, имеется ли цель на заданном расстоянии. Если цель присутствует, то сигнал будет отражаться.

Рис. 4.50. Типичные функции огибающей и фазы.

В простейшем случае неподвижной точечной цели принятый сигнал будет ослабленной копией излученного сигнала, при этом к несущей прибавится случайный фазовый угол. Кроме этого, на входе приемника будет присутствовать компонента аддитивного белого шума независимо от того, имеется цель или нет. Если через обозначить гипотезу о наличии цели, а через гипотезу о ее отсутствии, то получим следующую задачу обнаружения

Поскольку шум является белым, то необходимо осуществлять наблюдение только на интервале В предположении, что мы интересуемся только заданным модель будет такой же, как и при Поэтому необходимо рассмотреть только задачу

Здесь мы имеем простую бинарную задачу, в которой неизвестный параметр присутствует только по одной гипотезе. Прежде чем перейти к ее решению, покажем, как сходная задача может возникнуть в области связи.

Рис. 4.51. Система оценки фазы.

В простой системе связи, работающей по принципу «да — нет», сигнал посылается, когда на выходе источника имеется «1», и ничего не посылается, когда на выходе источника имеется «0». Переданные сигналы по двум гипотезам имеют вид

Часто значение стремятся сообщить приемнику. Один из методов осуществления этого состоит в передаче вспомогательного сигнала, содержащего информацию относительно . Если бы этот сигнал передавался по каналу без шумов, то на приеме было известно точно и данная задача свелась бы к задаче с известным сигналом. Однако чаще вспомогательный сигнал бывает подвержен воздействию помех и приемник должен оценивать , обрабатывая смесь вспомогательного сигнала с шумом. Обозначим эту оценку через . Блок-схема системы оценки фазы показана на рис. 4.51. Детально работа устройства оценки (нижний блок) будет рассмотрена в гл. 2 второго тома. Здесь же лишь отметим, что если оценка равна , то задача сводится к уже известной нам задаче. Если и не совпадают, то неопределенность содержится в разности , являющейся случайной величиной. Поэтому задачу можно рассматривать в следующей формулировке

где энергия фактически принимаемого сигнала, ошибка измерения фазы. Как видно, радиолокационная и связная задачи приводят к одинаковой математической модели.

Процедура отыскания отношения правдоподобия была изложена в начале § 4.4. В данном частном случае модель задачи нам настолько хорошо известна [см. (23)], что выражение при можно записать немедленно. Результирующее отношение правдоподобия равно

где область изменения предполагается равной Последний интеграл соответствует энергии принятого сигнала. В большинстве представляющих интерес случаев она не будет зависеть от фазы, поэтому мы отнесем ее к порогу. Чтобы оценить другой интеграл, разложим косинусный член в (357):

и обозначим

и

Таким образом, интересующий нас интеграл равен

Для дальнейших выкладок нам нужно определить Вместо определения заданной плотности, определим семейство плотностей, обозначаемых единым параметром. Желательно выбрать такое семейство плотностей, которое позволяет моделировать возможно большее число представляющих интересов случаев. Семейство полезных распределений, определяемое уравнением (364), представлено графически на рис. 4.521),

Здесь модифицированная функция Бесселя первого рода. Пока можно рассматривать просто как параметр, определяющий рассеяние распределения.

При исследовании устройств оценки фазы в гл. 2 второго тома мы убедимся, что этот параметр имеет важный физический смысл. Как видно из рис. 4.52, при

Распределение (365) целесообразно использовать при решении радиолокационной задачи. При увеличении это распределение становится более сконцентрированным. Наконец, при мы приближаемся к случаю известного сигнала.

Рис. 4.52. Семейство распределений вероятностей фазового угла.

Таким образом, варьируя величиной можно осуществить непрерывный переход от задачи с известным сигналом через промежуточный случай, когда имеется лишь некоторая информация о фазе, к другому крайнему случаю — задаче, когда сигнал имеет равновероятную фазу. Подставив (364) в (363), получим

Этот интеграл является табличным [45]. Таким образом, найдем

Поставляя (367) в (359), учитывая порог и беря логарифм, получим

Формирование статистики испытания осуществляется прямым способом (рис 4.53). Функция показана на рис. 4.54. При больших х

Рис. 4.53. Оптимальный приемник при случайной фазе

тогда как при малых х

и

Заметим, что ввиду монотонности функции ее можно исключить путем изменения значения порога. Таким образом, получаем два критерия, эквивалентные (368):

и

Перечертив блок-схему приемника так, как показано на рис. 4.55, приходим к заключению, что тракт оптимального приемника состоит из линейной и квадратичной частей.

Как видно из (371а), область плоскости соответствующая решению лежит внутри окружности с центром и с радиусом Обозначим эту область через Плотность вероятности по гипотезе обладает цетральный симметрией относительно начала координат. Следовательно, если у фиксировать, а увеличивать, что будет сдвигаться влево, а вероятность нахождения в области по гипотезе будет уменьшаться. Поэтому для поддержания постоянной при увеличении необходимо увеличивать у. Несколько

Рис. 4.54. График функции.

областей решений показано на рис. 4.56. В пределе при граница области решений стремится к прямой линии и мы получаем знакомую нам по § 4.2 задачу с известным сигналом.

Рис. 4.55. Другая реализация оптимального приемника.

Плотность вероятности по гипотезе зависит от . Типичный случай иллюстрируется на этом же рисунке. Значения и для некоторых интересующих нас частных случаев будут вычислены позднее на стр. 388, а также в задачах вне основного текста.

Рис. 4.56. Области решения для случая неполностью известной фазы.

Прежде чем сделать это, целесообразно разработать другую структуру приемника для случая, когда Во многих случаях такая структура является более удобной в реализации.

Структура оптимального приемника в виде согласованного фильтра с детектором огибающей. Когда необходимо найти Это можно сделать путем использования узкополосного фильтра и включенного вслед за ним детектора огибающей, как показано на рис. 4.57.

Рис. 4.57. Согласованный фильтр с детектором огибающей для случая равномерно распределенной фазы.

Поскольку является импульсной реакцией узкополосного фильтра, удобно записать ее в виде

где функции нижних частот. На выходе в момент времени будем иметь

Используя (372), это уравнение можно записать в виде

Уравнение (374), в свою очередь, можно переписать иначе

Замечая, что

и

приходим к заключению, что выход детектора огибающей равен

Как видно из (361) и (362), требуемая статистика испытания равна

Очевидно, эти два выражения будут тождественными, если

и

Этот узкополосный согласованный фильтр обеспечивает более простую реализацию для случая равновероятной фазы.

Приемник в случае равномерно распределенной фазы часто называется некогерентным приемником, однако этот термин может ввести в заблуждение. Мы видим, что согласованный фильтр использует внутреннюю фазовую структуру сигнала. Единственное, чего здесь не хватает — абсолютного опорного значения фазы.

Приемник для случая известного сигнала называется когерентным, поскольку в нем необходим гетеродин, когерентный с генератором передатчика. Общий случай, рассмотренный в настоящем параграфе, можно назвать частично-когерентным.

В заключение рассмотрим качество обнаружения в некоторых простых случаях. Принципиальной трудности в оценке вероятностей ошибки нет, однако результирующие интегралы часто бывает невозможно оценить аналитическими методами. Поскольку различные модификации данной задачи часто встречаются как в области радиолокации, так и в области связи, отысканию удобных выражений в замкнутой форме и оценкам численными методами было посвящено много усилий. Для иллюстрации используемого метода рассмотрим два типичных примера.

Прежде всего обсудим радиолокационную задачу, сформулированную в начале данного параграфа

Пример 1. (Равновероятная фаза). Так как данная модель соответствует радиолокационной задаче, предположение о равномерном распределении фазы является наиболее реалистичным. Для построения рабочей характеристики приемника нам необходимо вычислить (Напомним, что и вероятности превышения порога у, когда присутствует только шум и сигнал плюс шум соответственно.)

Как видно из рис. 4.55, статистика испытания равна

где нормальные случайные величины. Область решений показана на рис. 4.56.

Нетрудно убедиться, что

Тогда

Перейдя к полярным координатам и выполнив вычисления, получим

Аналогично, вероятность обнаружения для некоторого равна

Положив и проинтегрировав по получим

Как и следовало ожидать, не зависит от . Это выражение можно нормировать, положив что дает

где

Этот интеграл невозможно вычислить аналитически. Впервые он был табулирован Маркумом [46, 48] и получил название -функции Маркума:

Эта функция широко исследовалась и была табулирована для различных значений а и (см. например, [48, 49 и 50]). Таким образом,

Эту вероятность обнаружения можно выразить через вероятность ложной тревоги Используя (384), имеем

Рабочая характеристика приемника показана на рис. 4.58. Эти результаты можно также представить графически в виде зависимости от при фиксированных значениях что и сделано на рис. 4.59. Как видно из рис. 4.14 и 4.59, при реходе от модели известного сигнала к модели с равновероятной фазой для поддержания постоянной при фиксированной и пределах изменения параметра, показанных на рис. 4.59, требуется лишь незначительное увеличение

Рис. 4.58. Рабочая характеристика приемника; случай равномерного распределения фазы.

Рис. 4.59. Вероятность обнаружения в зависимости от в случае равномерного распределения фазы.

Вторым представляющим интерес примером является бинарная система связи, в которой имеется некоторая информация о фазе.

Пример 2. Частично-когерентная бинарная система связи. В качестве критерия возьмем минимальную вероятность ошибки. Допустим, что обе гипотезы одинаково правдоподобны, а сигналы согласно этим гипотезам можно записать в виде

где и — нормированные функции и

Спектральная плотность шума равна а вероятностное распределение фазы дает (364). Критерий отношения правдоподобия получается в результате очевидной модификации простой бинарной задачи, а структура премника изображена на рис. 4.60.

Рассмотрим теперь как функцию Интуитивно можно ожидать, что при мы будем приближаться к задаче с известным сигналом, а при [равные и противоположные сигналы (39)], получим наилучший

результат. С другой стороны, при фаза становится равновероятной Теперь любая корреляция (положительная или отрицательная) будет сдвигать сигнальные точки ближе друг к другу. Поэтому можно ожидать, что при получится наибольшая достоверность. При переходе от первого крайнего значения ко второму оптимальное значение должно смещаться от —1 к 0.

Подробно рассмотрим только простой случай, когда случай рассмотрен в задаче 4.4.9. Вычисление вероятности ошибки для произвольного выполнено в [44].

Рис. 4.60. Приемник бинарной системы связи.

При как можно убедиться, выход квадратичной части приемного тракта одинаков по обеим гипотезам. Таким образом, приемник является линейным. Влияние фазовой ошибки сводится к вращению сигнальных точек в пространстве решений, как показано на рис. 4.61.

Используя результаты параграфа 4.2.1 (стр. 302), получим

или

Используя (394), будем иметь

Интеграл (395) можно вычислить численными методами. Результаты для двух значений показаны на рис. 4.62 и 4.631). Результаты для других также были оценены в [44] и приведены на указанных рисунках.

Рис. 4.61. Влияние фазовых ошибок в пространстве решений.

Видно, что при больше, чем примерно 2 отрицательно коррелированные сигналы становятся более эффективными, чем ортогональные сигналы. При это различие весьма существенно. Физический смысл станет для нас яснее при исследовании систем оценки фазы в гл. 2 второго тома.

Рис. 4.62. Вероятность ошибки бинарной системы в случае неполностью известной фазы асимптотическое значение) [44].

В этом параграфе был рассмотрен частный случай нежелательного параметра — случайный фазовый угол. Используя семейство распределений, мы получили возможность продемонстрировать плавный переход от случая с известным сигналом к случаю с равновероятной фазой сигнала. Структура приемника соответствует взвешенной сумме линейной и квадратичной операций.

Рис. 4.63. Вероятность ошибки бинарной системы в случае неполностью известной фазы асимптотическое значение) [44].

Следует заметить, что конкретная структура приемника обусловливается точной формой выбранного распределения. Во многих случаях плотность вероятности для фазового угла не будет соответствовать ни одному из этих распределений. Интуитивно можно ожидать, что синтезированный здесь приемник должен быть «почти» оптимальным для любого распределения данного семейства, под которое он рассчитан.

Обратимся теперь к более важному случаю, когда изменяются как амплитуда, так и фаза принимаемого сигнала.