5.5. Оценивание неслучайных сигналов

Иногда нереалистично считать сигнал, который нужно оценить, случайным колебанием. Например, мы можем знать, что каждый раз, когда происходит некоторое событие, переданное сообщение будет иметь определенные отличительные особенности. Если сообщение моделируется в виде выборочной функции случайного процесса, то при синтезе оптимального приемника существенные черты сообщения можно усреднить. Ситуации такого типа возникают в задачах классификации (опознавания) в области гидроакустики и сейсмологии. Здесь более

целесообразно моделировать сообщение как неизвестное, но неслучайное колебание. Для построения оптимального устройства обработки мы обобщим процедуру оценки по максимуму правдоподобия для неслучайных величин на случай непрерывных колебаний. Соответствующая модель принимаемого сигнала имеет вид

где нормальный процесс с нулевым средним.

Чтобы найти оценку по максимуму правдоподобия, запишем логарифм функции правдоподобия, а затем выберем сигнал который ее максимизирует. Логарифм функции правдоподобия равен пределу (726) при

где обратное ядро шума. Для произвольного минимизация затруднительна. Однако в случае, представляющем для нас наибольший интерес, процедура ведет прямо к цели. Это случай, когда область изменения функции включает все возможные значения Важным примером, где это справедливо, является случай

Примером, где это не справедливо, служит случай, когда

Здесь все функции в области изменения имеют амплитуды меньше единицы, хотя возможные амплитуды не ограничены.

Ограничимся случаем, когда область изменения охватывает все возможные значения Необходимое условие минимизации легко получить вариационным методом:

для каждого Решение имеет вид

поскольку для каждого существует по крайней мере одно которое может быть в нем отображено. Нет гарантии, однако, что существует единственное обратное отображение. И на этот раз полезный ответ можно получить путем сужения обсуждаемого вопроса. В частности, рассмотрим задачу, определяемую (180). В этом случае

Таким образом, оценка по максимуму правдоподобия есть просто принятый сигнал. Это несмещенная оценка Легко показать, что оценка по максимуму правдоподобия является эффективной. Ее дисперсию можно получить из обобщенной границы Крамера или непосредственным вычислением. Используя последнюю процедуру, будем иметь

Часто бывает удобно нормировать дисперсию длиной интервала. Обозначим эту нормированную дисперсию (которая является просто средней ошибкой оценки по минимуму среднеквадратической ошибки) через

Используя (180) и (184), получим

Отсюда нетрудно сделать ряд выводов.

Если шум является белым, то ошибка бесконечна. Такой вывод представляется интуитивно логичным, если иметь в виду разложение в ряд. Мы пытаемся оценить бесконечное число составляющих, и поскольку считаем, что никакой априорной информации об их вкладе в формирование сигналов у нас нет, приписываем всем им равные веса. Но так как среднеквадратические ошибки всех составляющих равны, то равномерное весовое распределение приводит к бесконечной среднеквадратической ошибке. Чтобы задача имела смысл, необходимо сделать допущение, что энергия шума конечна на любом конечном интервале. Это допущение можно обосновать физически по крайней мере двумя путями:

1. Приемные элементы (антенна, гидрофон или сейсмометр) имеют конечную полосу пропускания.

2. Если предположить, что нам приближенно известна полоса частот, содержащая сигнал, то можно включить фильтр, пропускающий эти частоты без искажений и подавляющий все прочие частоты.

Если шумовой процесс стационарен, то

Может сложиться впечатление, что столь грубая процедура не может быть эффективной. Из задачи оценки параметра, однако, известно, что априорные сведения не имеют значения, когда шумы измерения малы. Такой же вывод сохраняет силу и в случае оценки сигнала. Этот результат можно проиллюстрировать простым примером.

Пример. Пусть белый процесс со спектральной плотностью Допустим, что Известно, что не имеет частотных составляющих выше Гц. Пропустим через фильтр с коэффициентом передачи, равным I в полосе частот от до Гц и нулю — вне этой полосы. На выходе фильтра будет смесь сообщения с шумом являющимся выборочной функцией процесса с равномерным ограниченным спектром. Оценка по максимуму правдоподобия есть выход данного фильтра и

Теперь предположим, что действительно является выборочной функцией случайного процесса с ограниченной полосой и равномерным спектром плотностью Если бы мы использовали оценку по максимуму апостериорной вероятности или по минимуму среднеквадратической ошибки, то она была бы эффективной и ошибка могла определяться (120)

Нормированные ошибки для двух этих случаев равны соответственно

и

Таким образом, различие в ошибках при пренебрежимо мало.

В данном примере в обеих процедурах оценки используются сведения о полосе сигнала для синтеза устройства обработки. Оценки по максимуму апостериорной вероятности и по минимуму среднеквадратической ошибки, однако, требуют знания спектральных плотностей. Другое основное различие двух указанных процедур приведенным примером не выявляется ввиду того, что были выбраны простые спектры. Оценки по максимуму апостериорной вероятности и по минимуму среднеквадратической ошибки формируются путем ослабления различных частотных составляющих

Поэтому, если спектр сообщения не равномерен в фиксированной полосе частот, то сообщение будет искаженным. Это искажение вносится с целью уменьшения полной среднеквадратической ошибки, равной сумме

искажений сообщения и шума. С другой стороны, устройство оценки по максимуму правдоподобия никогда не вносит каких-либо искажений сообщения; ошибка обусловливается исключительно шумом. (По этой причине устройства оценки по максимуму правдоподобия называются также неискажающими фильтрами.)

В последующем мы сосредоточим наше внимание на процедуре оценки по максимуму апостериорной вероятности (важным исключением из этого является § 5.3 второй части). Следует помнить, однако, что во многих случаях оценивание по максимуму правдоподобия также оказывается полезным (см. задачу 5.5.2).