6.3.3. Приложение

В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применения результатов, полученных в § 6.3.2.

Пример 1. Рассмотрим спектр сообщения первого порядка

В этом случае является скалярной величиной, Если предположить, что сообщение не модулировано, а шум измерения белый, то

В данном случае легко находим нужные величины:

Подставив эти величиныв (339), получим дифференциальное уравнение для оптимальной оценки

Соответствующий фильтр изображен на рис. 6.38. Значение коэффициента передачи определяется в результате решения дисперсионного уравнения.

Рис. 6.38. Оптимальный фильтр: пример 1.

Во-первых, предположим, что устройство оценки достигло установившегося состояния. Тогда стационарное решение дисперсионного уравнения можно получить без особого труда. Положив левую часть (341) равной нулю, будем иметь

где через обозначена дисперсия в установившемся состоянии:

Существуют два решения уравнения (346): одно отрицательное и одно положительное. Так как средний квадрат ошибки, он должен быть положительным, поэтому

(напомним, что Из (340) получим

Ясно, что данный фильтр должен быть эквивалентен фильтру, полученному в примере § 6.2. Передаточная функция при замкнутой петле обратной связи равна

Но

Подстановкой (348) в (349) получим

что совпадает с (94).

Задачу для переходного процесса можно решить аналитическим или численным методом. Подробное рассмотрение аналитического решения произведено в

задаче 6.3.21 на основе свойства 16, стр. 619. Переходная матрица имеет вид

где

Если предположить, что ненаблюдаемое сообщение находится в статистически установившемся состоянии, то [В (342) предполагается, что имеет нулевое среднее]. Используя эти допущения и подставив (351) в (358), получим

При имеем

что согласуется с (347). На рис. 6.39 показано поведение нормированной ошибки как функции времени для различных значений Числа, поставленные у правых концов кривых, соответствуют разности являющейся мерой того насколько близко ошибка приближается к своему значению при установившемся состоянии системы.

Рис. 6.39. Средний квадрат ошибки для случая однополюсного спектра.

Пример 2. Логичным обобщением однополюсного случая является класс фильтров Баттерворта, определяемый (153):

Для формулировки этого соотношения в терминах переменных состояния нам необходимо иметь дифференциальное уравнение процесса генерирования сообщения:

Фигурирующие здесь коэффициенты табулированы для различных в учебниках по теории цепей (например, [37, 38]). Значения для показаны на рис 6.40а. Место положения полюсов для различных показаны на рис 6.406.

Рис. 6.40а. Коэффициенты дифференциального уравнения, описывающего спектры Баттерворта [38]

Рис. 6.406. Диаграммы полюсов спектров Баттерворта.

Если интересоваться только процессом сообщения, то можно выбрать любое удобное представление состояния. Один из примеров определяется уравнением (191):

Результирующая матрица для любого получается, если использовать (356) и (193). Прочие необходимые величины равны

Из (340) видно, что есть матрица размерностью :

Соответствующая блок-схема показана на рис. 6.41.

Для отыскания значений необходимо решить дисперсионное уравнение. Это можно сделать аналитически, использовав свойство 16, стр. 619,

Рис. 6.41. Оптимальный фильтр: сообщение Баттерворта порядка.

однако численный метод решения гораздо практичнее. Предположим, что и что неохватываемый нашим наблюдением процесс находится в статистически установившемся состоянии. Чтобы найти используем (334). Заметим, что переменные состояния выбираются так, чтобы удовлетворялось (334 г). Это обстоятельство отражается наличием нулей в как показано на рисунках. На рис. 6.42, а показана зависимость ошибки от времени для случая двух полюсов. И на этот раз числа, поставленные у правых концов кривых, являются разностью

Рис. 6.42. Фильтр Баттерворта второго порядка: а — средний квадрат ошибки; б - коэффициенты передачи.

Видно, что при ошибка практически достигает своего установившегося значения. На рис. 6.42, б показано поведение члена Аналогичные результаты иллюстрируются для случая трех и четырех полюсов на рис. 6.43 и 6.44 соответственно. Во всех случаях установившееся значение достигается практически при (Заметим, что так что временной масштаб является нормированным.) Это означает, что после параметры фильтров, по существу, независимы от времени. (Однако это вовсе не означает, что все члены достигают установившегося значения.) Близкий вопрос, который мы оставляем для самостоятельного упражнения, заключается в следующем. Пусть фильтр с постоянными параметрами рассчитан на устанаг вившееся состояние. Какими будут его характеристики для переходного режима по сравнению с оптимальным фильтром, параметры которого изменяются во времени (см. задачи 6.3.23 и 6.3.26).

Рис. 6.43. Фильтр Баттерворта третьего порядка: а - средний квадрат ошибки; б - коэффициенты передачи.

Пример 3. В двух предыдущих примерах рассматривались стационарные процессы. Простым нестационарным процессом является винеровский процесс. Его можно представить в виде дифференциального уравнения

Заметим, что несмотря на то, что коэффициенты дифференциального уравнения постоянны, данный процесс является нестационарным. Если принять, что

то получить оценку не представляет труда

(кликните для просмотра скана)

где

и

Задачу переходного процесса легко решить, используя свойство 16, стр. 619 (см. задачу 6.3.25). Результат имеет вид

где (Заметим, что (369) не является предельным случаем (353), так как начальное условие здесь другое.) При ошибка стремится к своему установившемуся значению:

формулу (370) можно получить непосредственно из (368), положив Для установившегося состояния фильтр изображен на рис. 6.45. Интересно отметить, что эта задача не учитывается моделью фильтра Винера — Хопфа

§ 6.2. Эвристически этот случай можно охватить, записав

решив задачу методом спектрального разложения и затем положив Нетрудно показать, что такой подход приводит к системе, представленной на рис. 6.45.

Рис. 6.45. Фильтр в установившемся состоянии (к примеру 3).

Пример 4. В этом примере мы построим каноническую модель приемника для следующей задачи:

1. Сообщение имеет рациональный спектр, у которого порядок (степень) числителя как функции по крайней мере на единицу ниже, чем степень знаменателя. Мы используем модель переменных состояния, описанную на рис. 6.30. Матрицы и взадаются выражениями (212) и (213) соответственно (каноническая реализация № 2).

2. Принимаемый сигнал является скалярной функцией.

3. Модуляционная матрица имеет единицу в первом столбце и нули на всех остальных местах. Иначе говоря, в отсутствие измерительного шума будет наблюдаться только немодулированное сообщение

Уравнение, описывающее оценку, получается из (339):

и

Как и в примере 2, коэффициенты передачи равны просто первой строке матрицы ошибок, умноженной на Результирующая структура фильтра показана на рис. 6.46. При усиление становится постоянной величиной.

Для случая постоянного коэффициента передачи путем сравнения части системы, обведенной штриховой линией, с двумя блок-схемами рис. 6.30 и 6.31, а получаем структуру фильтра, изображенную на рис. 6.47.

Рис. 6.46. Каноническая схема устройства оценки для стационарных сообщений в статистически установившемся состоянии.

Задав фильтр в петле обратной связи посредством его передаточной функции, получим

Таким образом, коэффициенты числителя передаточной функции фильтра в петле обратной связи соответствуют первому столбцу матрицы ошибок. Полюсы (какмы убедились ранее) совпадают с полюсами спектра сообщения.

Рис. 6.47. Каноническая схема устройства оценки для стационарных сообщений в статистически установившемся состоянии.

Заметим, что для определения коэффициентов числителя необходимо решить дисперсионное уравнение.

Пример 5А [23]. В качестве простого примера только что рассмотренного общего случая возьмем процесс сообщения, показанный на рис. 6.48, а. Если мы хотим использовать каноническую структуру приемника, которая только что была синтезирована, то необходимо изменить модель генерации сообщения, как показано на рис. 6.48, б.

Нетрудно заметить, что

Далее, используя (212) и (213), получим

Результирующая структура фильтра, являющаяся просто частным случаем рис. 6.47, изображена на рис. 6.48.

Рис. 6,48. К примеру 5А: а — генератор сообщения, б - аналоговое представление; в — оптимальное устройство оценки. Дисперсионное уравнение системы в установившемся состоянии имеет вид

Таким образом, ошибки системы в установившемся состоянии равны

Мы взяли положительно определенное решение. Передаточная функция фильтра в петле с обратной связи в установившемся состоянии имеет вид

Пример 5Б. Интересный пример, близкий к предыдущему, показан на рис. 6.49. Добавим подстрочные индексы для обозначения величин в примерах соответственно. Видно, что, за исключением некоторых постоянных, выходной процесс совпадает с процессом, рассмотренным в примере Промежуточная переменная в этой реализации, однако, не появляется.

Рис. 6.49. К примеру 5Б, генерация сообщения.

Мы исходим из того, что интересующее нас сообщение есть

В гл. 2 второго тома мы встретимся с моделью рис. 6.49, а результирующая структура системы оценки играет важную роль в задаче частотной модуляции. Это всего лишь конкретный пример общей задачи, когда сообщение подвергается линейной операции перед передачей. Существует два простых способа решения данной задачи. Один из них заключается в использовании результата примера 5А. Для этого необходимо представить в виде линейной комбинации переменных состояния в примере 5А:

и

при условии

Замечая, что

получим

Здесь минимизация среднеквадратической ошибки фильтрации коммутативна с линейными преобразованиями. [Доказательство тождественно доказательству Следовательно,

Укажем, что это не эквивалентно тому, чтобы положить равным производной от Таким образом,

На основании этих заключений можно построить блок-схему оптимального фильтра путем модификации рис. 6.48. Результат показан на рис. 6.50. Отсюда легко получить выражение для дисперсии ошибки

Рис. 6.50. К примеру 5Б, устройство оценки.

В противном случае, если бы мы не решили пример 5А, то подошли решению задачи прямым способом. Принимаем сообщение за одну из переменных состояния. Соответствующие матрицы имеют вид

и

Структура системы оценки показана на рис. 6.51. Дисперсионнос: уравнение имеет вид

Даже для установившегося состояния решить эти уравнения аналитически затруднительно. В данном частном случае нам помог только что решенный пример 5А. Вполне очевидно, что в обоих случаях должна быть одной и той же, если положить Из (379) находим

Другой коэффициент передачи теперь получить не представляет труда:

Так как предполагалось, что интересующим нас сообщением является можно также легко вычислить дисперсию ошибки

Нетрудно показать, что (388) и (394) дают одинаковые результаты и что блок-схемы рис. 6.50 и 6.51 обладают одинаковыми зависимостями между Внутренние различия между двумя указанными системами проистекают из различия выбранных нами представлений состояний систем.

Рис. 6.51. К примеру 5Б, оптимальное устройство оценки.

Пример 6. Рассмотрим теперь тот же процесс сообщения, что и в примере 1, но будем считать, что помеха является суммой белого шума и некоррелированного с ним цветного шума:

и

Как уже было показано, мы просто включаем как компоненту в вектор состояния. Таким образом,

Матрица коэффициентов передачи обращается в

или

Уравнение, определяющее оценку, имеет вид

или, если выразить через компоненты,

Блок-схема системы показана на рис. 6.52, а. Эта форма структуры свидетельствует о симметрии процесса оценивания. Заметим, что оценки связаны посредством ветви обратной связи.

Эквивалентная асимметричная структура, показывающая влияние цветного шума на сообщение, представлена на рис. 6 52, б Для отыскания коэффициентов передачи необходимо решить дисперсионное уравнение. Подстановкой в (341) найдем

Следует сделать два замечания.

1. Система, изображенная на рис 6.52, а, показывает все существенные особенности канонической структуры, необходимой для оценивания системы независимых случайных процессов, сумма которых наблюдается в присутствии белого шума (по вопросу синтеза общей канонической структуры см. задачу 6.3.31). В общем случае связь проявляется точно таким же образом.

2 Мы пытались подойти к случаю, когда белый шум отсутствует используя предельный переход. Трудность заключается в том, что в этом случае дисперсионное уравнение вырождается. Синтез структуры приемника для случая чистого цветного шума обсуждается в § 6. 3 4.

Пример 7 Наиболее распространенным примером случая многократного наблюдения применительно к связи служит система разнесенного приема. Упрощенная теория такой системы дана ниже. Допустим, что сообщение передается по каналам с известными коэффициентами передачи, как показано на рис. 6.53.

Рис. 6.52. Оптимальное устройство оценки для случаев небелого и белого шума (статистически установившееся состояние).

В каждом канале действует помеха типа белого шума. Модуляционная матрица имеет размерность однако только первый ее столбец отличен от нуля:

Ради простоты будем полагать, что помехи в каналах некоррелированы. Поэтому матрица будет диагональной:

Матрица коэффициентов передачи имеет размерность ее элемент равен

Общая структура приемника представлена на рис. 6.54, а. Обозначим напряжение на входе внутренней петли через

Используя (412)-(414), получим

Рис. 6.53. Система разнесенного приема.

Нетрудно заметить, что первый член в квадратных скобках представляет безынерционное устройство сложения принимаемых сигналов.

Обозначим выходное напряжение этого устройства через

Видно, что оно является точно таким же устройством сложения по максимуму отношения сигнал/шум, с которым мы встречались в гл. 4. Схема оптимального фильтра может быть перечерчена так, как показано на рис. 6.54, б.

Рис. 6.54. Система разнесенного приема. 636

При этом приходим к одноканальной задаче, в которой принимаемое колебание имеет вид

Модуляционная матрица является в этом случае скалярной величиной

а помеху можно записать в виде

Если сообщение имеет единичную дисперсию, то эффективная мощность равна

а эффективный уровень шума

Следовательно, все результаты, полученные для одноканального случая, можно использовать и в данном случае, произведя простое изменение масштаба. Например, для однополюсного спектра сообщения, рассмотренного в примере 1,. получим

где

Аналогичные результаты справедливы, когда матрица не является диагональной и когда сообщение является нестационарным процессом.

Рассмотренные примеры иллюстрируют задачи, наиболее часто встречающиеся в области связи. Другие примеры вынесены за пределы основного текста.