4.5. Многоканальные системы

В гл. 3 было введено понятие векторного случайного процесса. Теперь необходимо решить задачи обнаружения и оценки для случая, когда принимаемое колебание является выборочной функцией векторного случайного процесса.

В простой задаче бинарного обнаружения принимаемые сигналы записываются в виде

В случае оценки принимаемый сигнал есть

Изложение векторного случая охватывает две группы вопросов.

1. Компактная формулировка задачи. Используя векторное разложение Карунена — Лоэва со скалярными коэффициентами, введенное в гл. 3, было показано, что построение отношения правдоподобия в векторном случае есть лишь тривиальное развитие скалярного случая. (Эта задача весьма подробно была рассмотрена Вольфом [63], а также Томасом и Вонгом [64].)

2. Исследование помехоустойчивости синтезированных структур приемника с тем, чтобы выяснить, не возникают ли в данном случае проблем, которых не было в скалярном случае. В этом параграфе будет рассмотрено лишь несколько простых примеров. В гл. 5 второго тома мы вновь обратимся к многомерной задаче и исследуем некоторые ее аспекты.

4.5.1. Формулировка задачи

Допустим, что известный векторный сигнал, а аддитивный шум выборочная функция -мерного нормального случайного процесса. Предположим, что помеха содержит компоненту белого шума

где

а в более общем случае

Матрица содержит только числа. Допустим, что она положительно определена. Физически это означает, что все компоненты колебания или любое его линейное преобразование будут содержать компоненту белого шума. Общий случай рассмотрен в задаче 4.5.2. В основном же тексте разберем случай, описываемый уравнением (426а). Матрицу ковариационных функций коррелированного шума запишем в виде

Предполагается, что каждый элемент матрицы интегрируем в квадрате, а белая и небелая компоненты шума независимы. Используя выражения (425)-(427), получим

Для построения отношения правдоподобия поступим так же, как и в скалярном случае. По гипотезе

Заметим, что все коэффициенты уравнения (429) являются скалярными величинами. Поэтому здесь непосредственно применимо уравнение (180):

Подставив (429) в (430), будем иметь

Введя

получим

Используя векторную форму теоремы Мерсера (2.253) и (432), приходим к заключению, что

По аналогии со скалярным случаем запишем

и покажем, что можно представить сходящимся рядом. Подробности можно найти в задаче 4.5.1. Как и в скалярном случае, упростим уравнение (433), введя обозначение

Оптимальный приемник, как показано на рис. 4.76, является просто векторным коррелятором или векторным согласованным фильтром.

Рис. 4.76. Векторные приемники: а - матричный коррелятор; б - матричный согласованный фильтр.

Двойными линиями на блок-схеме обозначены векторные операции, а символом О — скалярное произведение двух входных векторов. Можно показать, что показатель качества равен