6.6. Некоторые замечания

Следует сделать замечания по некоторым примыкающим вопросам.

1. В § 6.2.4 было показано, что для стационарных процессов на фоне белого шума реализуемая среднеквадратическая ошибка связана с шенноновской взаимной информацией. Для нестационарных процессов на конечном интервале можно вывести аналогичное соотношение.

2. При рассмотрении фильтров методом переменных состояния мы ограничились случаем непрерывных во времени процессов. Можно легко модифицировать этот метод, распространив его на системы с дискретными во времени сигналами. (Результаты для дискретной системы были получены при решении задачи 2.6.15 методом последовательной оценки.)

3. Иногда встречаются задачи, когда входной процесс содержит устанавливающуюся детёрминированную компоненту и нужно минимизировать среднеквадратическую ошибку, обусловленную случайным входным процессом, ограничив одновременно среднеквадратическую ошибку, вызванную переходным процессом. Этот метод является простой модификацией рассмотренных методов (см., например, [51]).

4. В гл. 3 были рассмотрены собственные функции и собственные значения интегрального уравнения

Для рациональных спектров были получены решения путем отыскания соответствующего дифференциального уравнения, его решения и использования указанного интегрального уравнения для оценки граничных условий. Из наших рассуждений в § 6.3 явствует, что можно найти более эффективный с точки зрения вычислений метод, если использовать методы переменных состояния. Эти методы развиты в [52] и [54] (см. также задачи 6.6.1 —6.6.4). Конкретно результаты сводятся к следующему.

а) Решение однородных уравнений Фредгольма на основе метода переменных состояния. Этот метод позволяет эффективно находить собственные значения и собственные функции скалярных и векторных случайных процессов.

б) Решение неоднородных уравнений Фредгольма на основе метода переменных состояния. Этот метод позволяет отыскивать функцию появляющуюся в оптимальном обнаружителе при наличии цветного шума. Он является также ключом к решению задачи синтеза оптимальных сигналов.

в) Решение задачи оптимального нереализуемого фильтра на основе метода переменных состояния. Это позволяет достигать наилучшей помехоустойчивости при использовании заданного количества входных данных.

Значение указанных результатов не следует недооценивать, так как они приводят к решениям, которые можно просто оценивать численными методами. Мы разовьем эти методы более подробно во втором томе и используем их для решения различных задач.

5. В гл. 4 были рассмотрены выбеливающие фильтры для задачи обнаружения сигналов на фоне цветного шума. При первоначальном обсуждении мы не требовали реализуемости. После исследования случая стационарного процесса на бесконечном интервале (стр. 354) мы установили, что может быть найден реализуемый фильтр и что одну компоненту можно интерпретировать как оптимальную реализуемую оценку цветного шума. Аналогичный результат может быть получен для случая нестационарного процесса на конечном интервале (см. задачу 6.6.5). Это позволяет использовать методы переменных состояния в целях отыскания выбеливающего фильтра. Этот результат будет также весьма ценным в главе третьей второго тома.

6.7. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)