3.4.4. Процессы типа белого шума
Другой интересный процесс может быть получен из винеровского процесса. Используя (41) и (120), можно разложить 
в ряд
где среднеквадратическое значение коэффициента определяется формулой 
:
Обозначим 
-членную аппроксимацию через 
Теперь определим, что произойдет, если продифференцировать 
Видим, что временная функция внутри фигурных скобок по-прежнему является нормированной. Поэтому можно записать
где
Мы получили процесс, для которого все собственные значения равны. Совершенно ясно, что если положить К. 
то ряд не будет сходиться. Если бы он сходился, то он соответствовал бы процессу с бесконечной энергией на интервале 
Можно формально получить ковариационную функцию этого результирующего процесса путем дифференцирования 
Ковариационная функция есть импульс. Продолжая рассуждать формально, можно искать решение интегрального уравнения (46) для импульсной ковариационной функции:
Это уравнение удовлетворяется для любого 
при 
Следовательно, любой ряд ортонормальных функций пригоден для разложения этого процесса. Причина неоднозначности (неединственности) решения заключается в том, что импульсное ядро не интегрируемо в квадрате. Свойства, изложенные на стр. 217—218, предполагали интегрируемость в квадрате. Позднее будет показано, что результирующий процесс является весьма полезным инструментом для многих моделей. Суммируем эти свойства в следующих определениях.
Определение. Нормальный процесс типа белого шума является нормальным [процессом, ковариационная функция которого есть 
. Его можно разложить на интервале 
используя любой ряд ортонормальных функций 
Коэффициенты по каждой координатной функции являются статистически независимыми нормальными случайными величинами с одинаковой дисперсией 
. С этим определением связан ряд свойств, которые легко установить.
Свойство 1. Формально можно записать
или в эквивалентной форме
Свойство 2. Если коэффициенты некоррелированы, имеют равные дисперсии, но не являются нормальными величинами, то процесс называют белым.
Свойство 3. Если процесс определен на бесконечном интервале, то его спектр есть
т. е. он постоянен на всех частотах. Значение всех собственных значений соответствует спектральной плотности 
Наряду с импульсными входными функциями процессы типа «белого шума» находят широкое применение при анализе линейных систем Точно так же, как мы можем наблюдать импульс только после того, как он пройдет через систему с некоторой ограниченной полосой, белый шум мы можем наблюдать только на выходе аналогичной системы. Поэтому, если ширина спектра шума значительно больше полосы пропускания системы, то можно считать, что шум имеет неограниченный спектр.
Для иллюстрации типовых случаев применения разложения по собственным функциям рассмотрим простейшую задачу.
