Решение некоторых задач к главе 4

Решение задачи 4.2.4

1. Обозначим выходную величину системы обратной связи по гипотезе через а по гипотезе через Поскольку функция детерминированная, найдем используя методы преобразования. Передаточная функция замкнутой петли по гипотезе равна

Таким образом,

или, во временной области,

Для отыскания критерия отношения правдоподобия используем результаты, полученные на стр. 300—302, непосредственно. Записав (4.31в) через функции времени, получим

что и требовалось найти. Качество критерия полностью определяется величиной Из (2.36)

где

2. Если является импульсом

то

и

Для отыскания и используем это значение в (2.37) и (2.38).

Решение задачи 4.2.6

1. Выход фильтра в момент времени равен где

Из

Используя заданные в условиях задачи сигнал и импульсную характеристику, получим

Используя (4.3) — (4.5) в (4.2), получим

или

Таким образом, необходимо максимизировать

Дифференцируя и приравнивая результат к нулю, получим

Максимум имеет место при

Следовательно,

2. Используя значение а, имеем

Требуемое увеличение мощности передачи равно —

Мы встречаемся с результатом этого типа довольно часто. Субоптимальная система, оптимизированная в пределах располагаемых степеней свободы, работает почти столь же хорошо, как оптимальная система.

Решение задачи 4.2.8

1. Обозначим сигнал через вектор

где есть размерность пространства решений. Требуется минимизировать

Раскрывая это выражение в виде

дифференцируя и приравнивая результат к нулю, получим

или

что и требовалось найти.

2. -й компонент есть ожидаемое значение компонента системы сигналов

Когда гипотезы равновероятны, это соответствует центру тяжести системы сигналов.

3. Для ортогональных сигналов

Для равновероятных гипотез

При пространство сигналов сводится к одномерному.

При три сигнала лежат в плоскости, которая содержит начало координат. Это можно вычертить в новой координатной системе в виде

При преобразуемые сигналы суть четыре вершины тетраэдра с центром в начале координат

4. Поскольку все симплексные сигналы имеют равные энергии,

5. Симплексная система с энергией сигнала 1— будет иметь такое же расстояние между сигналами, как ортогональные сигналы с энергией В задаче 4.2.12 рассматривается оптимальность симплексной системы, когда не имеется ограничений на размерность системы сигналов. Можно сделать вывод, что, если симплексная система оптимальна, то ортогональная система будет практически оптимальной при больших

Решение задачи 4.2.9 1

1. По условиям задачи сигналов имеют одинаковые энергии и одинаково коррелированы. Используя неравенство Буняковского — Шварца, получим

или

Для вывода другой границы заметим, что

или

откуда следует, что

Поэтому

2. Построим симплексную систему, как в задаче 4.2.8. Пусть система ортогональных колебаний с энергиями Тогда сигнал симплексной системы есть

с энергией Коэффициент корреляции равен

Итак,

3. Любую систему равнокоррелированных сигналов можно получить из ортогональной системы при помощи линейного преобразования

где

Это преобразование не влияет на вероятность ошибки. Вероятность ошибки определяется расстоянием между сигналами. Для равнокоррелированной системы

Для ортогональной системы

Чтобы получить равную вероятность ошибки необходимо варьировать энергиями сигналов так, чтобы были равными

что и требовалось доказать.

4. Для симплексной системы

Таким образом, вероятность ошибки для симплексной системы с энергией сигналов равна вероятности ошибки для ортогональной системы с энергией сигналов

Решение задачи 4.2.16

1. Рассматривая пример 3 на стр. 306, особенно (4.59), видим, что вероятность ошибки не зависит от того, какой сигнал был передан.

2. В качестве примера рассмотрим случай, когда и допустим, что был послан сигнал, соответствующий Тогда имеются следующие возможные виды ошибок в элементах (двоичных разрядах)

Если ошибка в сигнале происходит, то все остальные последовательности равновероятны и появляются с вероятностью Ожидаемое число ошибок в элементах при условии, что ошибка в сигнале имеется, равно

В общем случае и

Эта сумма равна Итак,

4. При 8 имеем:

Построение графика сводится к приведению к масштабу рис. 4. 25.

Решение задачи 4.2.21

1. Сигнал по гипотезе имеет вид

Все сигналов можно представить посредством двух ортогональных функций. Пусть

и

Тогда

Принятое колебание по гипотезе имеет вид

Вычисление корреляции дает две достаточные статистики, необходимые для принятия решения. По гипотезе

и

Согласно (4.45) оптимальный приемник вычисляет

и выбирает наибольшее. Поскольку сообщения равновероятны, первый член является одинаковым по всем гипотезам. Используя (4.1 и (4.2, найдем оптимальный критерий в следующей формулировке: вычислить

и выбрать наименьшее. Выполнив операции в (4.3 и пренебрегая членами, которые равны между собой по всем гипотезам, получим критерий: вычислить

и выбрать наименьшее. Более простая интерпретация получается, если записать точку, описываемую посредством в полярных координатах:

Используя (4.5 в (4.4, получаем

Следовательно, необходимо вычислить

и выбрать наибольшее. Блок-схема приемника имеет вид

3. Поскольку пространство решений симметрично

Геометрическое построкние для сигмента по гипотезе показано на рисунке

Введем

Для отыскания границы верочтности ошибки построим рисунок

оказывается за пределами области решений оказывается выше линии оказывается ниже линии Теперь по гипотезе равен Так как помеха обладает круговой симметрией относительно точки приведенные выше два слагаемых равны вероятности того, что нормальная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией будет превосходить Следовательно,

Аналогично,

Этот результат был впервые получен в [72] и является хорошим примером отыскания граничных выражений, которые часто необходимы для получения оценок вероятности ошибки

Решение задачи 4.2.23

Область решений для одного сигнала показана на рисунке

Если положить то

При и малом 0

Таким образом, малые фазовые ошибки не изменяют помехоустойчивости системы в значительной степени.

Для больших и малых 0

Помехоустойчивость системы сильно зависит от 0.

Решение задачи 4.2.25

Эта задача аналогична примеру I на стр. 320. Как в (112),

Чтобы сделать это, заметим, что

Таким образом, можно найти а затем максимизировать ее по Прежде всего найдем необходимое условие существования путем дифференцирования (4.1 и приравнивания его результата к нулю

Это уравнение можно решить относительно

где энергия сигнала. Поскольку решение является единственным, а вторая производная отрицательна, абсолютный максимум существует при любом значении А. Для отыскания подставим (4.2 в (4.1:

Заметим, что величина постоянная. Величина учитывается коэффициентом усиления — множителем первого члена.

Для отыскания атар необходимо получить ее в виде функции А и выбрать максимальное значение. Оптимальный приемник показан на рисунке. Когда выходная величина принимает свое максимальное значение, мы наблюдаем выход усилительного звена с тем, чтобы получить

Решение задачи 4.2.26

1. Заметим, что эта задача весьма сходна с моделью на стр. 3l4-315. Здесь известно, что параметр А неотрицателен. Принимаемое колебание равно

Вычисление корреляции с дает достаточную статистику

Как в

Итак,

2. Смещение равно

Полагая

имеем

или, используя (4.11),

Смещение равно

3. Из п. 2

Каждый член стремится к нулю при

Решение задачи 4.2.28

1. 1 задачи можно решить путем простого исследования без каких-либо выкладок. Из изложенного на стр. 80 известно, что операция оценки по наибольшему правдоподобию коммутативна с нелинейными операциями. В § 4.2.2 (стр. 314—316) была решена задача оценки амплитуды сигнала, а именно, если

то

где -энергия колебания Поскольку

что и является требуемым результатом. Блок-схема приемника имеет вид

Решение этой задачи можно также получить непосредственно, не прибегая к свойству коммутативности.

2. Теперь рассматриваем как значение нормальной случайной величины. Поскольку операция оценки по максимуму апостериорной вероятности не коммутативна, необходимо выполнить соответствующие выкладки и вывести уравнение оценки. Прежде всего отметим, что по-прежнему является достаточной статистикой. Апостериорная плотность равна

Продифференцировав (4.2, получим

Приравняв к нулю, получим уравнение оценки по максимуму апостериорной вероятности

3. При первое слагаемое в (4.3 стремится к нулю и решение имеет вид

Решение задачи 4.3.4

1. Согласно (4.153)

Мы положили и исключили постоянный член в выражении для смещения. Из задачи 4.3.3 можно записать

или

2. Теперь запишем

где получено из (4.1 при

Дифференцируя (4.3) по t, получаем

Теперь, подставляя в (4.4

используя равенство вытекающее из свойства симметрии обратного ядра, получим

Используя (4.6 в (4.2, имеем

3. Выражение (4.7 можно переписать в виде

Последнее можно записать в виде

где мы ввели определение

Фильтр, описываемый выражением (4.10, называют реализуемым выбеливающим фильтром. Легко убедиться, что его выход является белым шумом, когда на его вход подается шум

4. Ясно, что интегральное уравнение для является точно таким же, как интегральное уравнение для когда концевая точка интервала Таким образом,

Решение задачи 4.3.7

I. Это частный случай примера, приведенного на стр. 364. Поэтому удовлетворяет (4.288)

где

Прежде всего необходимо решить (4.1. Это выполнено подробно в задаче 4.3.8. На интервале это решение имеет вид

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Решение (4.1 дает

Для отыскания произведем свертку временных функций, соответствующих двум членам в скобках. Графически

Итак

Решение задачи 4.3.12

Наиболее легкий путь решения этой задачи — использовать метод выбеливания (см. стр. 332 — 339). Спектр шума имеет вид

Этот спектр идентичен спектру шума в (241). Характеристика выбеливающего фильтра имеет вид

Заметим, что выбеливающий фильтр действует только в настоящем, так что ограничение насчет конечности интервала наблюдения несущественно (см. примечание 2 на стр 358).

Выход фильтра когда вход равен есть

Кроме того,

Далее, из (215)

или

Подставляя (4.1 в (4.2 и производя интегрирование, получим

Это выражение минимизируется при условии, если

Поскольку является монотонной функцией значение а в (4.3 максимизирует вероятность ошибки противника.

Решение задачи 4.3.21

Для любого входного сигнала имеем

где Можно ввести функцию

после чего получим

Оптимальная система передачи сигналов будет передавать сигнал по гипотезе и сигнал - по гипотезе где максимизирует

Можно найти который максимизирует (4.4, путем решения уравнения

и выбора с наибольшим собственным значением. Для такого получаем

Чтобы решить (4.5, продифференцируем его дважды по , а результат подставим в (4.3. Используя затем (4.5 повторно, получим

или

где

Для нахождения постоянных можно использовать (4.1, (4.5 и (4.6:

Из (4.7 и (4.8 получаем следующие соотношения:

Объединяя (4.10 и (4.11, имеем

Поскольку это уравнение не имеет решения при [см. (4.7].

Это означает, что все собственные значения меньше

Пусть Тогда (4.12) обращается в

Это уравнение имеет бесконечное множество корней, каждый из которых определяет собой собственное значение уравнения (4.5) Наибольшее решение уравнения (4.13) имеет место при в этом случае

Но это не собственная функция уравнения (4 5. Следовательно, наибольшее собственное значение уравнения (4.5) определяется первым ненулевым корнем уравнения (4.13). Далее, если этот корень равен то имеем

Величина выбирается из условия нормировки

Тогда

Решение задачи 4.4.3

Чтобы вычислить этот интеграл, придадим ему такую форму, что можно использовать соотношение (4.2. Это аналогично дополнению до полного квадрата в скалярном случае

Интеграл в (4.2) справедлив во всех случаях, когда [собственные значения В] являются положительными. Из (4.1)

Действительные части собственных значений есть просто те собственные значения которые положительны. Таким образом, этот интеграл всегда существует. Поэтому (4.1 можно записать в виде

Используя (4.3, получим

Из (4.3 имеем

Используя (4.5 в (4.4, получим

что и требовалось доказать.

2. Когда числитель в (4.6 равен единице; Если, кроме этого,

Чтобы найти плотность вероятности, произведем обратное преобразование. При четных эта операция не представляет труда

Это просто распределение с степенями свободы, с которым мы встречались на стр. 117. Этот результат справедлив также и при нечетных В этом случае обратное преобразование можно получить из таблиц или путем свертки плотностей соответственно для

3. Все результаты по справедливы, если ввести

Чтобы интеграл (4.2 существовал, действительные части собственных значений должны быть положительными. Пусть

Тогда собственные значения должны быть положительными. Это эквивалентно требованию, чтобы

где наибольшее собственное значение

Решение задачи 4.4.5

В основном тексте приведены следующие выражения:

1. Средние и среднеквадратические значения приведены ниже:

Используя статистику испытания (критерия), данную в условиях задачи, имеем

где

Используя (388), получим

2. По гипотезе

Проинтегрировав, имеем

Введем

Таким образом,

Поскольку обладают круговой симметрией, последнее выражение мол переписать в виде

где

Используя результат п. 1, получим

Тогда

Решение задачи 4.4.13

1. Принимаемое колебание равно

где

Оптимальный приемник вычисляет

и выбирает наибольшее. Поскольку распределение (0) равномерно,

где

Тогда

Заметим, что поэтому Приемник, работающий по критерию минимальной вероятности ошибки выбирает гипотезу которая соответствует наибольшему Чтобы фактически реализовать это правило, необходимо вычислить

и использовать области решений, показанные ниже

Для отыскания этих значений необходимо решить систему уравнений. Например,

когда

Итак,

Аналогично,

В общем случае

и

2. Пространство решений показано выше. Сначала вычислим

Эти интегралы идентичны интегралам в примере I на стр. 387 — 388.

Откуда

Решение задачи 4.4.27

Приемник (рис. 4.74) используется приа Поэтому критерий имеет вид

или

где

Принимаемые колебания записываются в виде (4.416). Чтобы вычислить необходимо найти статистики по двум гипотезам. Поскольку задача симметрична,

Таким образом, будем рассматривать только По гипотезе

Тогда

Плотность вероятности равна

Внутренний интеграл равен

Таким образом,

Вспомнив, что

можно записать (4.3 в виде

Интеграл по есть интеграл гауссовой плотности с нулевым, средним. Интеграл по вычисляется путем дополнения до полного квадрата. В результате имеем

где

Решение задачи 4.4.29

1. Сначала находим систему из случайных величин путем вычисления взаимокорреляционной функции Эта система является достаточной

Плотности вероятностей по двум гипотезам равны

Используя и (4.2, имеем

Решение задачи 4.4.40

1. Достаточная статистика для настоящей задачи есть

энергия сигнала. Мы определяем как гипотезу, по которой сигнал проходит по каналу 2 (аналогично, соответствует прохождению сигнала по каналу

По гипотезе

Ясно, что это нормальная случайная величина с нулевым средним и дисперсией

По гипотезе

Это нормальная случайная величина со средним У и дисперсией Критерий наибольшего правдоподобия легко получается из (2.13) и (2.15):

Из изложенного на стр. 51 известно, что Беря логарифм, приводя общие члены и используя (4.1, получим

Это выражение можно переписать в виде

Структура приемника полностью определяется уравнениями (4.1 и (4.4 и показана на рисунке.

2. Чтобы вычислить вероятность ошибки, сначала найдем два значения величины , при которых (4.4 является равенством

Обозначим эти два корня через

Таким образом, области решений на оси имеют вид

Вопросы. Откуда мы знаем, что эти корни являются действительными? Откуда нам известно, какие отрезки оси соответствуют каким гипотезам? Выражение для вероятности ошибки записать нетрудно:

или

Аналогично,

Используя (4.7 и (4.8 в (4.6, получим

Решение задачи 4.4.42

Ясно, что пространство решений является двумерным. Простую систему достаточных статистик можно получить, как показано на рисунке.

Для отыскания критерия отношения правдоподобия вычислим статистики по гипотезам Поскольку получаются в результате линейных операций над нормальным случайным процессом с нулевым средним, они являются нормальными случайными величинами с нулевыми средними и могут быть полностью заданы их ковариационной матрицей.

По гипотезе

Ковариационная матрица равна

Аналогично по гипотезе

Ковариационная матрица имеет вид

Введем обозначение

Тогда

Беря логарифм от обеих частей и включая постоянные в порог, имеём

Это полностью определяет структуру оптимального приемника.

Решение задачи 4.6.6

Сначала необходимо найти По аналогии со скалярным случаем

Необходимое условие существования сводится к

Таким образом,

Это выражение можно переписать в виде

Литература

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)