3.5. Периодические процессы
До сих пор мы занимались представлением процессов на конечном интервале времени. Однако часто бывает удобным рассматривать бесконечный интервал времени. Начнем наше рассмотрение с определения периодического процесса.
Определение. Периодический процесс — это стационарный случайный процесс, корреляционная функция
которого является периодической функцией с периодом Т:
Нетрудно показать, что из этого определения вытекает, что почти все выборочные функции являются периодическими [т. е.
. Математическое ожидание квадрата разности равно
Следовательно, вероятность того, что
, равна единице.
Нам необходимо представить
в виде обычного ряда Фурье со случайными коэффициентами. Сначала рассмотрим синусно-косинусный
ряд и ради простоты обозначений допустим, что процесс имеет нулевое среднее.
Разложение в ряд по синусам и косинусам. Разложение данного процесса в ряд имеет вид
где
и
Ковариационную функцию можно разложить в ряд вида
где
Отсюда без труда получаем
Таким образом, коэффициенты ряда — некоррелированные случайные величины. (Это означает, что собственные функции любого периодического процесса для интервала
являются гармоническими, т. е. синусоидальными и косинусоидальными функциями.) Аналогично,
Заметим, что мы не производили нормировки координатных функций. Это объясняется тем, что нас интересует мощность, а не энергия на данной частоте. Если опустить
в координатных функциях, то величина
представляет мощность, а не энергию. Ожидаемое значение мощности на частоте
равно
Разложение по комплексным эспоненциальным функциям. Другой способ разложения процесса заключается в использовании комплексных экспоненциальных функций
и
Для положительных
Значения отрицательных индексов являются комплексно-сопряженными со значениями положительных индексов:
и
Видим, что коэффициенты ряда некоррелированы.
Рис. 3.19. Коэффициенты для типичной выборочной функции.
Рис. 3.20. Дисперсия коэффициентов, периодический процесс.
Точно так же, как и в случае конечного интервала, каждая выборочная функция определяется в среднеквадратическом смысле ее коэффициентами. Для удобства можно представить эти коэффициенты в функции частоты
На рис. 3.19 они показаны для типичной выборочной функции. На рис. 3.20 иллюстрируется статистическое среднее квадрата коэффициентов (дисперсия).