1.2. Возможные методы решения

Из рассмотренных примеров следует, что характерной особенностью всех перечисленных выше задач является случайная природа источника, канала или помехи; часто все они имеют случайный характер. Поэтому и наш подход к их исследованию должен быть по существу статистическим. Но даже при условии, что мы используем статистическую модель, существует много различных путей подхода к решению той или иной проблемы. Все возможные методы можно подразделить на две категории, именуемые нами «структурными» и «неструктурными». Ряд приведенных простейших примеров поясняет, что понимается под структурным подходом.

Пример 1. На вход линейной системы с изменяющимися во времени параметрами поступает смесь сигнала с шумом

Импульсная характеристика системы есть Сигнал известная функция с энергией

выборочная функция случайного процесса с нулевым средним и ковариационной функцией

Нас интересует выходное напряжение системы в момент времени Выходное напряжение, обусловленное сигналом, есть детерминированная величина

Выходное напряжение, вызванное шумом, есть случайная величина

Отношение сигнал/шум на выходе системы в момент времени можно определить как

где через обозначено математическое ожидание.

Подставляя (28) и (29) в (30), получим

Вводя математическое ожидание под знак интеграла, используя (27) и выполняя интегрирование по переменной и, получим

Интересующая нас задача заключается в выборе такой импульсной характеристики чтобы отношение сигнал/шум было максимальным. Решение ее не представляет труда, однако для данного обсуждения оно не имеет значения (см. задачу 3.3.1).

Приведенный пример иллюстрирует три существенные особенности структурного подхода к решению статистической задачи оптимизации.

Структура. Требуется, чтобы устройство обработки было линейным фильтром с постоянными во времени параметрами. Нужно выбрать наилучшую систему в данном классе. Системы, не относящиеся к этому классу (например, нелинейные или с изменяющимися во времени параметрами), не допускаются.

Критерий. В данном случае нужно максимизировать величину, именуемую нами отношением сигнал/шум.

Информация. Чтобы написать выражение для отношения сигнал/шум, необходимо знать форму сигнала и ковариационную функцию шумового процесса.

Если бы мы располагали большим объемом сведений о процессе (например, знали бы его одномерную плотность вероятности), то не смогли бы им воспользоваться, а если бы у нас данных было меньше, то данную задачу решить невозможно. Разумеется, если бы мы выбрали другой критерий, то могла бы потребоваться и другая информация. Например, чтобы максимизировать величину

знания ковариационной функции шумового процесса было бы недостаточно.

С другой стороны, если изменить структуру системы, то, возможно, потребовалась бы иная информация. Таким образом, все три понятия — структура, критерий и информация — тесно взаимосвязаны. Необходимо особо подчеркнуть, что при структурном подходе, как видно из приведенного ниже примера, предположение о линейности системы не является обязательным.

Рис. 1.11. Структурное нелинейное устройство.

Пример 2. На вход нелинейного безынерционного устройства (устройства без памяти), изображенного на рис. 1.11, поступает смесь сигнала и шума

Сигнал в любой момент времени равен значению случайной величины с известной плотностью вероятности Аналогично, есть значение величины статистически независимой от с известной плотностью вероятности На выходе устройства имеем

т. е. квадратичную безынерционную функцию [Прилагательное «безынерционная» подчеркивает то обстоятельство, что значение зависит только от ] Требуется выбрать коэффициенты так, чтобы было оценкой с минимальной среднеквадратической ошибкой. Среднеквадратическая ошибка равна

Коэффициенты выбираются из условия минимизации Решение данной конкретной задачи дается в гл. 3.

Метод решения структурных задач является по своей идее прямым методом. Варьируя структуру системы в рамках заданного класса, мы выбираем конкретную систему, которая максимизирует (или минимизирует) интересующий нас критерий.

Очевидное преимущество структурного подхода заключается что для его применения обычно достаточно лишь частичного описания (задания) процессов. Это обстоятельство имеет большое значение, так как на практике требуемые параметры процесса приходится измерять или рассчитывать.

Очевидный недостаток этого метода состоит в том, что часто бывает невозможно сказать, правильно ли выбрана структура. В том же примере 1 простая нелинейная система могла бы заведомо превосходить наилучшую линейную систему. Точно так же, в примере 2 некоторая другая нелинейная система могла бы оказаться гораздо лучше, чем квадратичная система. Но раз класс структуры избран, у нас иного выхода нет. Последствия выбора неправильной структурыможно было бы проследить на ряде тривиальных примеров. С одним таким важным для практики примером мы встретимся при исследовании частотной модуляции в гл. 2 второго тома.

На первый взгляд может показаться, что один из путей обойти проблему выбора надлежащей структуры — это принять, что искомая структура является произвольной нелинейной системой с изменяющимися во времени параметрами. Другими словами, класс структуры выбирается столь широким, что в него входят все возможные системы. Трудность здесь заключается в том, что нет удобного математического аппарата скажем, такого, каким является интеграл свертки (интеграл Дюамеля), для выражения выходного напряжения нелинейной системы через напряжение на ее входе. Это означает, что не существует приемлемого метода для исследования всех возможных систем, если опираться на структурный подход.

Альтернативой структурного подхода служит неструктурный метод. В этом случае мы отказываемся делать какие-либо априорные предположения относительно структуры, которую должно иметь устройство обработки. Мы лишь задаемся критерием, решаем задачу и реализуем полученную процедуру обработки.

Простой пример неструктурного подхода можно получить путем некоторого видоизменения примера 2. Вместо того чтобы приписывать устройству обработки какие-либо характеристики, обозначим оценку через Полагая

выберем в качестве значение, получаемое из любым способом, минимизирующим величину

Очевидным преимуществом этого метода является то, что если можно решить данную задачу, то мы заведомо знаем, что наше решение, т. е. найденное устройство обработки, является наилучшим (с точки зрения выбранного критерия) из всех возможных. Очевидный недостаток неструктурного подхода заключается в том, что в этом случае необходимо полностью характеризовать (задавать) все сигналы, каналы и помехи, относящиеся к рассматриваемой задаче. К счастью, оказывается, существует большое число практически важных задач, в которых такое полное задание возможно.. На протяжении обоих томов мы будем делать упор на неструктурный подход.

До сих пор мы излагали тематический и методологический планы монографии. Рассмотрим теперь фактическую организацию материала.