5. Оценка непрерывных сигналов

5.1. Введение

До сих пор рассматривались задачи обнаружения и оценки параметров сигналов. Перейдем к рассмотрению задачи оценки непрерывного сигнала. Точно так же, как в задаче оценки параметра, целесообразно обсудить задачи оценки неслучайных сигналов и сигналов, являющихся выборочными функциями случайного процесса. Мы увидим, что процедура оценки для неслучайных сигналов является простой задачей. Напротив, когда сигнал представляет собой выборочную функцию случайного процесса, несмотря на простоту формулировки, решение задачи оказывается более сложным.

Прежде чем перейти к решению задачи оценки, целесообразно рассмотреть некоторые физические проблемы, связанные с оценкой непрерывных колебаний. Начнем рассмотрение со случайного сигнала.

Одним из важных случаев, когда перед нами возникает задача оценки случайного сигнала, являются системы аналоговой модуляции. В простейшем случае сообщение подается на вход безынерционного модулятора, выходом которого является сигнал который затем передается, как показано на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Непрерывная система модуляции без памяти.

Передаваемый сигнал является детерминированным в том смысле, что данная выборочная функция порождает однозначную выходную функцию Приведем несколько распространенных примеров.

Эта запись соответствует двухполосной амплитудной модуляции с подавленной несущей (ДБП-АМ-ПН)

Выражение (2) соответствует обычной ОБП-АМ с остатком компоненты несущей.

Выражение (3) соответствует случаю фазовой модуляции (ФМ).

На передаваемый сигнал налагается выборочная функция гауссова шумового процесса с нулевым средним, который независим от процесса сообщения. Шум полностью характеризуется ковариационной функцией Таким образом, для системы, показанной на рис. 5.1, принимаемый сигнал можно записать в виде

Рассмотренная простейшая система не позволяет адекватно описать многие представляющие интерес практические задачи. Прежде всего необходимо снять требование безынерционности модулятора. Модуляционная система с памятью показана на рис. 5.2. Здесь отображает импульсную характеристику линейного фильтра, параметры которого необязательно постоянны во времени. Приведем примеры.

Рис. 5.2. Система модуляции с памятью.

1. Линейная система — интегратор, а безынерционное устройство

— фазовый модулятор. В этом случае передаваемый сигнал можно записать

Эта запись соответствует частотной модуляции (ЧМ).

2. Линёйная система — реализуемая схема с постоянными во времени параметрами, а безынерционное звено — фазовый модулятор. Передаваемый сигнал имеет вид

Это угловая модуляция с предыскажениями.

Рис. 5.1 и 5.2. характеризуют широкий класс систем аналоговой модуляции, которые мы рассмотрим несколько подробнее. Интересующее нас колебание будем называть сообщением. Сообщение может исходить от различных источников. В системах ЧМ вещания сообщением может быть музыка или речь. В спутниковой телеметрической системе оно может соответствовать аналоговой информации, поступающей от датчика (например, температуры или высоты).

Задача оценки сигналов встречается в ряде других областей. Исключив модулятор в схеме рис. 5.1, получим

Если отображает положение некоторого объекта, за которым нужно проследить в присутствии шумов измерения, то мыимеем простейшую форму задачи контроля и управления.

Под эту модель подходят также много более сложных систем. Три из них изображены на рис. 5.3. На рис. 5.3, а представлена система Система этого типа обычно используется в тех случаях, когда необходимо передавать одновременно несколько сообщений. Указанными сообщениями модулируются соответствующие поднесущие, имеющие различные частоты.

Рис. 5.3. Типичные системы: а — система передача по каналу с изменяющимися во времени параметрами; в — измерение параметров канала.

Модулированные поднесущие затем суммируются в групповой сигнал, которым модулируется основная несущая. На рис. 5.3, а показаны операции, производимые в случае одного сообщения. На рис. 5.3, б изображена система частотной модуляции, передающая сигналы по линейному каналу с известными изменяющимися во времени параметрами. На рис. 5.3, в канал имеет импульсную характеристику, которая зависит от случайного процесса. Вход является детерминированным сигналом. Требуется оценить импульсную реакцию (характеристику) канала. Измерительные задачи такого рода часто возникают в цифровых системах связи. Простой пример такого типа встретился нам при изучении релеевского канала в § 4.4. Другие примеры будут рассмотрены во второй и третьей главах второго тома. Заметим, что процесс в канале представляет собой «сообщение» в данном классе задач.

Мы видим, что все описанные Задачи соответствукуг Первому уровню той иерархии, которая была намечена в гл. 1. Это задачи, которые характеризовались нами как «известный сигнал на фоне шума». Весьма важно понять смысл этого описания в связи с оценкой непрерывных сигналов. Если бы было известно, то и было бы известно. Другими словами, если не учитывать аддитивного шума, то отображение является полностью детерминированным.

Для дальнейшего изложения целесообразно считать выборочной функцией нормального случайного процесса. Во многих случаях такое допущение является справедливым. В некоторых же случаях, например в случае музыки или речи, оно несправедливо. На основе экспериментальных данных будет показано, что если при проектировании системы мы будем исходить из допущения нормальности входного процесса, то система будет хорошо работать во многих случаях, Когда процесс на входе является негауссовым.

Материал данной главы организован следующим образом. В § 5.2 выведены уравнения, определяющие оптимальную оценку . В § 5.3 установлены границы среднеквадратической ошибки оценки. В § 5.4 полученные ранее результаты распространены на векторные сообщения и векторные принимаемые сигналы. В § 5.5 изложено решение задачи оценки неслучайного сигнала.

Цель настоящей главы — вывод необходимых уравнений и исследование некоторых из их свойств, которые можно установить, не прибегая к решению уравнений. Гораздо более полезными конечными результатами являются решения указанных уравнений и вытекающие из них структуры приемников. В гл. 6 задача линейной модуляции будет рассмотрена подробно. Во второй главе второй части будет также изложена проблема нелинейной модуляции.