4. Обнаружение сигналов. Оценка параметров сигналов

4.1. Введение

В главе 2 были сформулированы классические задачи обнаружения и оценки сигналов. Чтобы дать основные исходные сведения для нескольких областей, сначала была изучена достаточно общая задача. Затем, в § 2.6 гл. 2 были исследованы более точные результаты, получаемые в рамках общего гауссова случая.

В главе 3 был развит метод представления непрерывных процессов несколькими способами. Одно из представлений, которое было рассмотрено подробно, пригодно главным образом для гауссовых процессов.

Теперь используем эти представления с тем, чтобы распространить результаты классической теории на случай, когда результаты наблюдения являются непрерывными функциями времени (непрерывными колебаниями).

4.1.1. Модели

Задачи, которые нас интересуют в данной главе, можно разделить на две категории. К первой категории относятся задачи обнаружения, возникающие в трех обширных областях: цифровая связь, радио- и гидролокация, опознание образов и классификация. Ко второй категории принадлежит задача оценки параметров сигналов, которая также встречается в указанных трех областях.

Обнаружение. Общепринятая модель простой цифровой системы связи изображена на рис. 4.1. Источник сообщения выдает двоичную цифру (либо 0, либо 1) каждые секунд. Наиболее просто и естественно построить такую систему связи, которая передавала бы в течение каждого интервала времени либо либо . В типичной космической системе связи претерпевшая ослабление копия переданного сигнала будет приниматься с пренебрежимо малыми искажениями. Принятый сигнал содержит или и компоненту аддитивного шума.

Способ задания помехи зависит от конкретной области применения. Одним из источников помех, который всегда имеет место, является тепловой шум. Шумы входных цепей и каскадов приемника можно

моделировать как выборочную функцию нормального случайного процесса. По мере ознакомления с более сложными моделями мы будем встречаться и с другими источниками помех, которые могут оказаться более существенными, чем тепловой шум. Во многих случаях систему можно перестроить так, что влияние этих других помех будет полностью устранено. Тогда помехоустойчивость системы будет ограничиваться только тепловым шумом. В большинстве систем спектр теплового шума равномерен в интересующем диапазоне частот и его можно характеризовать посредством спектральной плотности

Рис. 4.1. Цифровая система связи (система передачи дискретных сообщений).

Другой обычно используемой формой задания является эффективная шумовая температура Те (например [1], [2] гл. 10). Эти две величины связаны простым соотношением

где постоянная Больцмана, Те — эффективная температура шума в градусах Кельвина Таким образом, в данном случае построение приемника можно характеризовать как задачу обнаружения одного из двух известных сигналов на фоне аддитивного белого гауссова шума.

Если рассмотреть возможную систему более подробно, то построение типичного передатчика может иметь вид, показанный на рис. 4.2. Передатчик имеет генератор с номинальной средней частотой Генератор бинарно модулируется по фазе в соответствии с тем, что имеется на выходе источника — или Мгновенная фаза генератора изменяется медленно и в приемнике может быть предусмотрено некоторое вспомогательное устройство для ее измерения. Если фаза изменяется медленно, то, как мы увидим, возможно ее точное измерение. Когда это условие выполняется, данную задачу можно моделировать так же, как и рассмотренную выше. Однако, если измерение выполняется неточно, то наша модель должна учитывать соответствующую неопределенность фазы.

Системой связи второго типа является магистральная радиолиния ионосферного рассеяния (рис. 4.3), в которой передаваемый сигнал рассеивается соответствующими слоями ионосферы. В типичной системе можно передавать «единицу» посылкой синусоидального колебания определенной частоты, а нуль — посылкой синусоидального колебания другой частоты. Принимаемый сигнал может изменяться, как показано на рис. 4.4. Здесь на входе приемника действует сигнал,

(кликните для просмотра скана)

флуктуирующий по амплитуде и фазе. В обычно используемом диапазоне частот аддитивный шум является гауссовым.

Соответствующие задачи существуют и в радиолокации. Обычная импульсная РЛС излучает сигнал, изображенный на рис. 4.5. Если цель присутствует, то от нее отражается последовательность импульсов. Если цель флуктуирует, то амплитуда и фаза отраженных импульсов изменяются. Отраженный сигнал представляет собой последовательность импульсов, амплитуда и фаза которых неизвестны. Задача заключается в исследовании этой последовательности при наличии шума приемника и в определении факта присутствия цели.

Рис. 4.5. Сигналы в радиолокационной модели: а — передаваемая последовательность радиоимпульсов; б - принимаемая последовательность импульсов (временные сдвиги не показаны).

Между двумя указанными областями существует очевидное сходство, однако имеется и некоторое различие.

1. В цифровой системе связи ошибки обоих типов (регистрация 1 при условии, что передавался 0, и наоборот) обычно имеют одинаковое значение. Кроме того, сигнал может присутствовать по обеим гипотезам. Это придает задаче симметрию, чем можно воспользоваться. В радио- и гидролокационной системе ошибки обоих типов почти всегда имеют неодинаковое значение. Кроме того, сигнал может присутствовать только по одной гипотезе. Это означает, что задача, вообще говоря, является несимметричной.

2. В цифровой системе связи вероятность ошибки обычно служит достаточной мерой качества (помехоустойчивости) системы. В радио- и гидролокационной системе, как правило, необходима достаточно полная рабочая характеристика приемника.

3. В цифровой системе связи передается последовательность цифр (разрядов). Следовательно, ошибки в цифрах могут быть исправлены, если предусмотреть определенную структуру последовательности. В радио- и гидролокационной системе такой возможности не имеется.

Несмотря наэти различия, большое число основных результатов можно использовать в обеих областях.

Оценки. Второй интересующей нас задачей является оценка параметров сигнала, которая встречается как в связи, так и в радио- и гидролокации. Сначала обсудим соответствующую связную задачу.

Рассмотрим источник аналогового сообщения, изображенный на рис. 4.6, а. Ради простоты положим, что выходная величина источника есть выборочная функция случайного процесса с ограниченным спектром (двусторонний симметричный спектр шириной ). Тогда мы можем брать его отсчеты через каждые секунд, не теряя информации. Другими словами, имея эти отсчеты на приемном конце, мы можем восстановить сообщение точно (см. например, Найквист [4] или задачу 3.3.6)

Рис. 4.6. Передача аналоговых сообщений.

Каждые секунд передается сигнал, который зависит от конкретного значения в момент последнего отсчета. В системе рис. 4.6, б амплитуда синусоиды определяется величиной Подобную систему называют системой амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). В системе 4.6, в от значения отсчета зависит частота синусоиды. Такую систему называют системой частотно-импульсной модуляции (ЧИМ). Сигнал передается по каналу и искажается помехами (рис. 4.7). Принятый на интервале сигнал можно представить в виде

Приемник должен оценить значения последовательно передаваемых и использовать эти оценки для восстановления сообщения,

Типичная радиолокационная система показана на рис. 4.8. В обычной импульсной РЛС передаваемый (излучаемый) сигнал представляет собой синусоидальное колебание с прямоугольной огибающей

Отраженный сигнал задерживается на время распространения радиоволн до цели и обратно. Если цель движется, то имеет место допплеровский сдвиг частоты.

Рис. 4.7. Система передачи параметра.

Наконец, из-за флуктуаций цели амплитуда и фаза сигнала приобретают случайный характер. Принятый сигнал в отсутствии шума можно записать в виде

Здесь мы оцениваем (или, что эквивалентно, дальность и скорость цели). И на этот раз между связной и радиогидролокационной задачами имеется очевидное сходство. Основные различия сводятся к следующим.

Рис. 4.8. Блок-схема радиолокационной системы.

1. В связном контексте есть случайная величина, плотность вероятности которой обычно известна. В радиолокации известными являются интересующие нас пределы дальности и скорости. Однако параметры лучше всего считать неслучайными величинами (см. например, § 2.4).

2. В радиолокации указанное затруднение может усложняться отсутствием или недостатком сведений о наличии цели. Поэтому задачи обнаружения и оценки могут встречаться одновременно.

3. Почти во всех задачах радиолокации опорной фазы не имеется.

Другие представляющие интерес модели будут появляться естественно по ходу изложения.

4.1.2. Организация материала главы

Поскольку данная глава имеет большой объем, важно понять ее построение в целом. Основной подход к решению задачи можно разбить на три этапа.

1. Наблюдение представляет собой колебание Поэтому пространство наблюдений может иметь бесконечное число измерений. Первый этап — отображение принятого сигнала в некоторое удобное пространство решений или оценок. Благодаря этому данная задача сводится к задаче, рассмотренной в главе 2.

2. В задаче обнаружения мы далее выбираем области решений и вычисляем рабочую характеристику приемника или . В случае задачи оценки мы оцениваем дисперсию или средний квадрат ошибки (среднеквадратическую ошибку).

3. Полученные результаты исследуются с тем, чтобы выяснить, какие выводы из них можно сделать относительно построения и помехоустойчивости системы.

Мы выполним указанные этапы последовательно для ряда моделей возрастающей сложности (рис. 4.9) и изложим задачи обнаружения и оценки параллельно. Подчеркивая их параллельный характер в простых случаях, можно значительно сэкономить на изложении материала в более сложных случаях, рассматривая только одну задачу в основном тексте и оставляя другую в качестве упражнения. Мы начинаем с простых моделей, а затем перейдем к более сложным.

Рис. 4.9. (см. скан) Последовательность моделей.

Возникает логичный вопрос: если задача столь проста, то почему же данная глава получилась столь объемистой? Это явилось результатом наших усилий определить, как модель и ее параметры влияют на

структуру и помехоустойчивость системы. Мы считаем, что только путем подробного изучения некоторых характерных задач можно должным образом оценить прикладное значение теории.

Прежде чем приступить к решению, будет уместным дать краткий исторический очерк. Математические основы для нашего подхода к этой задаче были заложены Гренандером [5]. Задача обнаружения в связи с оптимальными радиолокационными системами была разработана в лаборатории методов передач Массачусетского технологического института (например, Лоусон и Уленбек [6]) в начале 40-х годов. Несколько позднее Вудворт и Девис [7, 8] подошли к радиолокационной задаче иным путем. Задача обнаружения была сформулирована примерно в то же самое время аналогично нашей постановке вопроса в работе Петерсона, Бердсалла и Фокса [9] и в работе Миддлтона и Ван-Митера [10]. Задача оценки была впервые решена Слепяном [11]. Параллельные результаты со связным уклоном были получены Котельниковым [12, 13] в СССР. Книги Хелстрома [14], а также Вайнштейна и Зубакова [15] посвящены почти исключительно радиолокации. К числу книг, посвященных исключительно проблемам связи, относятся работы Котельникова [13], Гармана [16], Багдади(ред. [17]), Возенкрафта и Джекобса [18], Голомба и др. [19]. Последние две части книги Миддлтона [47] охватывают ряд вопросов обеих областей. Помещая эти задачи рядом, мы надеемся обратить внимание читателя на их внутреннее сходство и оттенить их различие.