3.4.5. Оптимальный линейный фильтр

В этом параграфе рассмотрим задачу оценки сообщения в присутствии помехи. Наше обсуждение будет по необходимости кратким; мы вернемся к этсй задаче и исследуем ее подробно в гл. 6. Здесь же мы преследуем три цели:

1. Ознакомление с теорией линейных фильтров с переменными во времени параметрами и простыми методами минимизации.

2. Получение конкретных результатов, необходимых при изложении последующих глав.

3. Практическое применение метода ортогонального разложения, развитого в предыдущих параграфах, в целях получения формального решения интегрального уравнения.

Интересующая нас система представлена на рис. 3.14. Сообщение выборочная функция случайного процесса с нулевым средним, конечным среднеквадратическим значением и ковариационной функцией

Рис. 3.14. Задача линейной фильтрации.

Сигнал наблюдается на фоне некоррелированной аддитивной помехи с нулевым средним и ковариационной функцией Мы наблюдаем сумму указанных процессов

Для получения оценки сообщения пропустим через линейный фильтр.

Поскольку процесс не обязательно является стационарным, а интервал наблюдения конечен, для получения наилучшей оценки

нам может понадобиться фильтр с изменяющимися во времени параметрами. Мы характеризуем фильтр его импульсной реакцией которая является значением выхода в момент времени когда на вход воздействует импульс в момент времени и.

Если система является физически реализуемой, то так как выходной импульс не может появиться раньше входного. Если параметры системы во времени не изменяются (т. е. система инвариантна во времени), то зависит только от разности ). Предполагается, что при Поскольку система является линейной, то выходной импульс, обусловленный воздействием можно записать в виде

являющимся очевидным обобщением интеграла свёртки (интеграла Дюамеля),

Нам необходимо выбрать так, чтобы минимизировать среднее значение квадрата ошибки, проинтегрированной на интервале Другими словами, требуется выбрать функцию минимизирующую величину

Таким образом, мы минимизируем среднеквадратическую ошибку, проинтегрированную на заданном интервале. Величина является ошибкой интервальной оценки.

Аналогичным образом можно определить ошибку точечной оценки

Очевидно, если минимизировать ошибку во все моменты времени, то будет минимизирована ошибка на всем интервале. Один из путей решения задачи минимизации заключается в использовании стандартного метода вариационного исчисления (см., например, [31], гл. 2). Наш подход носит менее формальный характер и ведет прямо к необходимым и достаточнымусловиям. Потребуем, чтобы реакция фильтра была непрерывной функцией по обеим переменным в области Обозначим , минимизирующую , через Любая другая функция фильтра в разрешенном классе может быть записана как

где действительный параметр, характеристика фильтра в разрешенном классе. Вычислив математическое ожидание

от (133), подставив результат в (134) и сгруппировав члены по степеням получим

или

Если первые три члена обозначить через а последние два — через то (136) можно записать

Если характеристика оптимального фильтра, то должна быть больше или равна нулю для всех допустимых и всех Покажем, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы это было справедливо, сводится к выражению

Выражение для имеет вид

Необходимо сделать три замечания.

1. Второй член является неотрицательным при любом выборе и так как неотрицательно определенная.

то для всех непрерывных существует область значений величины в которой отрицательна, а именно, для всех

если числитель правой части (141) положителен. Величина отрицательна для всех отрицательных больших, чем правая часть если числитель отрицателен.

3. Чтобы (140) выполнялось, необходимо и достаточно тождественного равенства нулю выражения в квадратных скобках при всех Таким образом,

Неравенство по и является строгим, если в имеется составляющая белого шума, так как второй член не непрерывен при Если (142) не справедливо, то мы можем сделать левую часть (140) положительной путем выбора для тех значений и, при которых левая часть (142) больше нуля и при всех прочих значениях и. Три указанных замечания исчерпывают доказательство (138).

Результат (138) имеет фундаментальное значение для многих из проблем, рассматриваемых ниже. Пока же предположим, что аддитивный шум является белым. Тогда

Подставляя (143) в (138), получим

Заметим, что и однозначно определяются из условия непрерывности

Так как имеет конечное среднеквадратическое значение, то из (145а), (145б) следует, что (144) также справедливо при

Результирующую ошибку оптимального устройства обработки можно найти без особого труда. Она просто равна первому члену (137)

или

Но из (138) вытекает, что выражение в квадратных скобках равно нулю. Следовательно,

Для случая белого шума подстановка (144) в (148) дает

В качестве окончательного результата нашего предварительного рассмотрения оптимальных линейных фильтров покажем, как решение уравнения (144) получается в терминах собственных функций ядра Начнем с разложения ковариационной функции сообщения в ряд

где и есть решения уравнения (46), когда ядро есть Используя (127), компоненту белого шума в (143) можно разложить в ряд

Для разложения в ряд белого шума нам необходим полный ортонормальный ряд. Если не является положительно определенной, то можно дополнить его собственные функции с тем, чтобы сделать ряд полным ортонормальным (см. свойство 9 на стр. 217). Тогда

Так как образуют полный ортонормальный ряд, будем искат решение в виде

Подставляя (150), (152) и (153) в (144), находим

Таким образом, переходную характеристику оптимального линейного фильтра можно выразить через собственные функции и собственные значения ковариационной функции сообщения. Модель -членной аппроксимации показана на рис. 3.15.

Рис. 3.15. Оптимальный фильтр.

Нереализуемость (154) можно устранить введением задержки на сек во второй ступени перемножения. Заметим, что (154) представляет собой практическое решение только тогда, когда число собственных функций мало. В большинстве случаев решение в терминах собственных функций будет полезно только для теоретических целей. При подробном изучении вопросов фильтрации и оценок в последующих главах мы найдем более практичные решения.

Ошибку также можно выразить через собственные значения и собственные функции. Подстановкой (154) в (149) получаем

и

Помимо весьма полезного результата решение данной задачи дает нам наглядный пример использования собственных функций и собственных значений при отыскании решения интегрального уравнения в виде ряда. Следует еще раз подчеркнуть, что все результаты настоящего параграфа основываются на исходном допущении линейности устройства обработки и в дополнительном требовании нормальности распределения нет необходимости.

Вернемся теперь к основной теме и установим ряд интересующих нас свойств.