Главная > Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.4.5. Оптимальный линейный фильтр

В этом параграфе рассмотрим задачу оценки сообщения в присутствии помехи. Наше обсуждение будет по необходимости кратким; мы вернемся к этсй задаче и исследуем ее подробно в гл. 6. Здесь же мы преследуем три цели:

1. Ознакомление с теорией линейных фильтров с переменными во времени параметрами и простыми методами минимизации.

2. Получение конкретных результатов, необходимых при изложении последующих глав.

3. Практическое применение метода ортогонального разложения, развитого в предыдущих параграфах, в целях получения формального решения интегрального уравнения.

Интересующая нас система представлена на рис. 3.14. Сообщение выборочная функция случайного процесса с нулевым средним, конечным среднеквадратическим значением и ковариационной функцией

Рис. 3.14. Задача линейной фильтрации.

Сигнал наблюдается на фоне некоррелированной аддитивной помехи с нулевым средним и ковариационной функцией Мы наблюдаем сумму указанных процессов

Для получения оценки сообщения пропустим через линейный фильтр.

Поскольку процесс не обязательно является стационарным, а интервал наблюдения конечен, для получения наилучшей оценки

нам может понадобиться фильтр с изменяющимися во времени параметрами. Мы характеризуем фильтр его импульсной реакцией которая является значением выхода в момент времени когда на вход воздействует импульс в момент времени и.

Если система является физически реализуемой, то так как выходной импульс не может появиться раньше входного. Если параметры системы во времени не изменяются (т. е. система инвариантна во времени), то зависит только от разности ). Предполагается, что при Поскольку система является линейной, то выходной импульс, обусловленный воздействием можно записать в виде

являющимся очевидным обобщением интеграла свёртки (интеграла Дюамеля),

Нам необходимо выбрать так, чтобы минимизировать среднее значение квадрата ошибки, проинтегрированной на интервале Другими словами, требуется выбрать функцию минимизирующую величину

Таким образом, мы минимизируем среднеквадратическую ошибку, проинтегрированную на заданном интервале. Величина является ошибкой интервальной оценки.

Аналогичным образом можно определить ошибку точечной оценки

Очевидно, если минимизировать ошибку во все моменты времени, то будет минимизирована ошибка на всем интервале. Один из путей решения задачи минимизации заключается в использовании стандартного метода вариационного исчисления (см., например, [31], гл. 2). Наш подход носит менее формальный характер и ведет прямо к необходимым и достаточнымусловиям. Потребуем, чтобы реакция фильтра была непрерывной функцией по обеим переменным в области Обозначим , минимизирующую , через Любая другая функция фильтра в разрешенном классе может быть записана как

где действительный параметр, характеристика фильтра в разрешенном классе. Вычислив математическое ожидание

от (133), подставив результат в (134) и сгруппировав члены по степеням получим

или

Если первые три члена обозначить через а последние два — через то (136) можно записать

Если характеристика оптимального фильтра, то должна быть больше или равна нулю для всех допустимых и всех Покажем, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы это было справедливо, сводится к выражению

Выражение для имеет вид

Необходимо сделать три замечания.

1. Второй член является неотрицательным при любом выборе и так как неотрицательно определенная.

то для всех непрерывных существует область значений величины в которой отрицательна, а именно, для всех

если числитель правой части (141) положителен. Величина отрицательна для всех отрицательных больших, чем правая часть если числитель отрицателен.

3. Чтобы (140) выполнялось, необходимо и достаточно тождественного равенства нулю выражения в квадратных скобках при всех Таким образом,

Неравенство по и является строгим, если в имеется составляющая белого шума, так как второй член не непрерывен при Если (142) не справедливо, то мы можем сделать левую часть (140) положительной путем выбора для тех значений и, при которых левая часть (142) больше нуля и при всех прочих значениях и. Три указанных замечания исчерпывают доказательство (138).

Результат (138) имеет фундаментальное значение для многих из проблем, рассматриваемых ниже. Пока же предположим, что аддитивный шум является белым. Тогда

Подставляя (143) в (138), получим

Заметим, что и однозначно определяются из условия непрерывности

Так как имеет конечное среднеквадратическое значение, то из (145а), (145б) следует, что (144) также справедливо при

Результирующую ошибку оптимального устройства обработки можно найти без особого труда. Она просто равна первому члену (137)

или

Но из (138) вытекает, что выражение в квадратных скобках равно нулю. Следовательно,

Для случая белого шума подстановка (144) в (148) дает

В качестве окончательного результата нашего предварительного рассмотрения оптимальных линейных фильтров покажем, как решение уравнения (144) получается в терминах собственных функций ядра Начнем с разложения ковариационной функции сообщения в ряд

где и есть решения уравнения (46), когда ядро есть Используя (127), компоненту белого шума в (143) можно разложить в ряд

Для разложения в ряд белого шума нам необходим полный ортонормальный ряд. Если не является положительно определенной, то можно дополнить его собственные функции с тем, чтобы сделать ряд полным ортонормальным (см. свойство 9 на стр. 217). Тогда

Так как образуют полный ортонормальный ряд, будем искат решение в виде

Подставляя (150), (152) и (153) в (144), находим

Таким образом, переходную характеристику оптимального линейного фильтра можно выразить через собственные функции и собственные значения ковариационной функции сообщения. Модель -членной аппроксимации показана на рис. 3.15.

Рис. 3.15. Оптимальный фильтр.

Нереализуемость (154) можно устранить введением задержки на сек во второй ступени перемножения. Заметим, что (154) представляет собой практическое решение только тогда, когда число собственных функций мало. В большинстве случаев решение в терминах собственных функций будет полезно только для теоретических целей. При подробном изучении вопросов фильтрации и оценок в последующих главах мы найдем более практичные решения.

Ошибку также можно выразить через собственные значения и собственные функции. Подстановкой (154) в (149) получаем

и

Помимо весьма полезного результата решение данной задачи дает нам наглядный пример использования собственных функций и собственных значений при отыскании решения интегрального уравнения в виде ряда. Следует еще раз подчеркнуть, что все результаты настоящего параграфа основываются на исходном допущении линейности устройства обработки и в дополнительном требовании нормальности распределения нет необходимости.

Вернемся теперь к основной теме и установим ряд интересующих нас свойств.

1
Оглавление
email@scask.ru