Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.4.5. Оптимальный линейный фильтрВ этом параграфе рассмотрим задачу оценки сообщения в присутствии помехи. Наше обсуждение будет по необходимости кратким; мы вернемся к этсй задаче и исследуем ее подробно в гл. 6. Здесь же мы преследуем три цели: 1. Ознакомление с теорией линейных фильтров с переменными во времени параметрами и простыми методами минимизации. 2. Получение конкретных результатов, необходимых при изложении последующих глав. 3. Практическое применение метода ортогонального разложения, развитого в предыдущих параграфах, в целях получения формального решения интегрального уравнения. Интересующая нас система представлена на рис. 3.14. Сообщение
Рис. 3.14. Задача линейной фильтрации. Сигнал наблюдается на фоне некоррелированной аддитивной помехи
Для получения оценки Поскольку процесс нам может понадобиться фильтр с изменяющимися во времени параметрами. Мы характеризуем фильтр его импульсной реакцией Если система является физически реализуемой, то
являющимся очевидным обобщением интеграла свёртки (интеграла Дюамеля), Нам необходимо выбрать
Таким образом, мы минимизируем среднеквадратическую ошибку, проинтегрированную на заданном интервале. Величина Аналогичным образом можно определить ошибку точечной оценки
Очевидно, если минимизировать ошибку во все моменты времени, то будет минимизирована ошибка на всем интервале. Один из путей решения задачи минимизации заключается в использовании стандартного метода вариационного исчисления (см., например, [31], гл. 2). Наш подход носит менее формальный характер и ведет прямо к необходимым и достаточнымусловиям. Потребуем, чтобы реакция
где от (133), подставив результат в (134) и сгруппировав члены по степеням
или
Если первые три члена обозначить через
Если
Выражение для
Необходимо сделать три замечания. 1. Второй член является неотрицательным при любом выборе
то для всех непрерывных
если числитель правой части (141) положителен. Величина 3. Чтобы (140) выполнялось, необходимо и достаточно тождественного равенства нулю выражения в квадратных скобках при всех
Неравенство по и является строгим, если в Результат (138) имеет фундаментальное значение для многих из проблем, рассматриваемых ниже. Пока же предположим, что аддитивный шум является белым. Тогда
Подставляя (143) в (138), получим
Заметим, что
Так как Результирующую ошибку оптимального устройства обработки можно найти без особого труда. Она просто равна первому члену (137)
или
Но из (138) вытекает, что выражение в квадратных скобках равно нулю. Следовательно,
Для случая белого шума подстановка (144) в (148) дает
В качестве окончательного результата нашего предварительного рассмотрения оптимальных линейных фильтров покажем, как решение уравнения (144) получается в терминах собственных функций ядра
где и
Для разложения в ряд белого шума нам необходим полный ортонормальный ряд. Если
Так как
Подставляя (150), (152) и (153) в (144), находим
Таким образом, переходную характеристику оптимального линейного фильтра можно выразить через собственные функции и собственные значения ковариационной функции сообщения. Модель
Рис. 3.15. Оптимальный фильтр. Нереализуемость (154) можно устранить введением задержки на Ошибку также можно выразить через собственные значения и собственные функции. Подстановкой (154) в (149) получаем
и
Помимо весьма полезного результата решение данной задачи дает нам наглядный пример использования собственных функций и собственных значений при отыскании решения интегрального уравнения в виде ряда. Следует еще раз подчеркнуть, что все результаты настоящего параграфа основываются на исходном допущении линейности устройства обработки и в дополнительном требовании нормальности распределения нет необходимости. Вернемся теперь к основной теме и установим ряд интересующих нас свойств.
|
1 |
Оглавление
|