3.3.2. Представление выборочных функций случайных процессов рядами

В § 3.2 мы познакомились с методами представления детерминированных колебаний, имеющих конечную энергию, в виде рядов. Теперь распространим эти идеи на выборочные функции случайного процесса. Начнем с выбора произвольного полного ортонор мального ряда Пока не будем уточнять форму ряда Для разложения в ряд запишем

где

Мы еще не задали вид сходимости, требуемой от суммы в правой части (39). Различные виды сходимости для последовательностей случайных величин рассматриваются в [1], [29].

Обычный предельный переход в этом случае не используется, поскольку он требует наложения на процесс условий, гарантирующих, чтобы каждая выборочная функция могла быть представлена таким образом.

Более практичным видом сходимости является сходимость в среднеквадратическом

Обозначение (сокращение от англ. limit in the mean - предел в среднем) соответствует пределу, определяемому равенством

Предположим пока, что можно найти условия, налагаемые на процесс, которые гарантируют сходимость, оговоренную в (42). Прежде чем искать эти условия, обсудим соображения по выбору ор-тонормального ряда. При рассмотрении нами классической теории обнаружения пр остранство наблюдений имело конечное число измерений и обычно входило в наши рассуждения с собственной системой координат. В § 2.6 было установлено, что задачи часто решаются значительно проще, если перейти к новой координатной системе, в которой случайные величины были бы некоррелированными (если они имеют нормальные распределения, то они к тому же будут и статистически независимыми). В случае непрерывных колебаний имеется то преимущество, что нет заданной системы координат и, следовательно, мы можем выбрать ее так, чтобы она соответствовала условиям задачи. Учитывая сказанное, можно выбрать такой ряд который дает нам некоррелированные коэффициенты.

Если

то желательно иметь

Ради простоты допустим, что для всех Сделаем ряд замечаний.

1. Величина х имеет простую физическую интерпретацию. Она соответствует энергии по координатной функции в данной выборочной функции.

2. Аналогично, соответствует ожидаемой величине энергии по координате в предположении, что Очевидно, 0 для всех .

3. Если есть величина положительно определенная, то любое больше нуля. Это вытекает непосредственно из (35). Немного позднее нетрудно будет показать, что если не положительно определенная, то по крайней мере одно должно равняться нулю.

Теперь не обходимо определить, в чем состоит существо требования (44) по отношению к полному ортогональному ряду. Подставляя (40)

в (44) и вводя математическое ожидание под знак интеграла, получим

Для того чтобы (45) выполнялось для всех выборов и заданного необходимо и достаточно, чтобы внутренний интеграл был равен т. е.

Функции называются собственными функциями, а числа собственными значениями.

Итак, мы хотим показать, что для некоторого полезного класса случайных процессов существуют решения уравнения (46) с требуемыми свойствами. Заметим, что по своей форме (46) есть вариант записи уравнения, которым задавались собственные векторы и собственные значения формулы (363) в § 2.6

где К была симметричной неотрицательно определенной матрицей. Это была система однородных линейных уравнений, где было размерностью пространства наблюдения. Используя результаты теории линейных уравнений, мы установили, что существует действительных неотрицательных значений К, при которых (47) имеет нетривиальное решение. Теперь размерность координатного пространства бесконечная и нам необходимо решить однородное линейное интегральное уравнение.

Функция называется ядром интегрального уравнения, и, будучи ковариационной функцией, она симметрична и неотрицательно определена. Ограничимся рассмотрением процессов с конечным среднеквадратическим значением, т. е. Их ковариационные функции удовлетворяют условию

где конечное число.

Условия (ограничения), сформулированные в последнем параграфе, позволяют нам использовать общеизвестные результаты теории линейных интегральных уравнений (см., например, Курант и Гильберт [3] гл. 3, Риц и Наги [4], Ловит [5] или Трикоми [6]).

Свойства интегральных уравнений.

1. Существует по крайней мере одна интегрируемая в квадрате функция и одно действительное число которые удовлетворяют (46).

Вполне очевидно, что может и не существовать более одного решения. Например, уравнение

имеет только одно ненулевое собственное значение и одну нормированную собственную функцию.

2. Из (46) следует, что если является решением, то и есть также решение. Поэтому мы всегда можем нормировать собственные функции.

3. Если суть собственные функции, связанные с одним и тем же собственным значением X, то есть также собственная функция, связанная с

4. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, являются ортогональными.

5. Существует не более как счетное бесконечное множество собственных значений, и все они ограничены.

6. Для любого заданного X существует не более как конечное число линейно независимых собственных функций. (Укажем, что понимается под линейной независимостью; функция линейно независима от множества если ее нельзя записать как взвешенную сумму функций Их всегда можно сделать ортонормированными (например, методом Грама — Шмидта, см. задачу 4.2.7 в гл. 4).

7. Так как неотрицательно определена, ядро может быть разложено в ряд:

где сходимость равномерная для (Это свойство называется теоремой Мерсера.)

8. Если положительно определена, то собственные функции образуют полный ортонормальный ряд. С учетом результатов § 3.2 это означает, что любу детерминированную функцию с конечной энергией можно разложить в ряд по собственным функциям.

9. Если не является положительно определенной, то собственные функции не могут образовывать ортогональный ряд. (Это следует непосредственно из (35) и (40).) Часто для получения полного ряда собственных функций его дополняют некоторым числом дополнительных ортогональных функций. Эти дополнительные функции называются собственными функциями с нулевыми собственными значениями.

10. Сумма собственных значений есть ожидаемое значение энергии процесса на интервале т. е.

(Напомним, что предполагается имеющей нулевое среднее.)

Перечисленные свойства гарантируют, что всегда можно найти ряд обеспечивающий некоррелированные коэффициенты. Остается только подтвердить допущение, сделанное нами в (42). Обозначим ожидаемое значение ошибки, если аппроксимируется первыми членами, через

Вычисляя математическое ожидание, получим

Свойство 7 гарантирует, что сумма будет сходиться равномерно к при Следовательно,

что и требовалось доказать. (Заметим, что из сходимости в свойстве 7 следует, что для любого существует такое независящее от что при всех

Разложение в ряд, рассмотренное в настоящем параграфе, обычно называют разложением Карунена-Лоэва (Карунен [25], Лоэв [26], [30]). Оно обеспечивает задание процесса его вторыми моментами посредством некоррелированных случайных величин. Само

по себе это свойство не очень существенно. В следующем параграфе будет показано, что для конкретного интересующего нас процесса — гауссова случайного процесса (т. е. процесса с нормальным распределением) коэффициенты разложения суть статистически независимые гауссовы случайные величины. Именно в этом случае данное разложение находит свое наиболее важное применение.