3.4. Однородные интегральные уравнения и собственные функции

В этом параграфе с достаточной подробностью будет изучено поведение решений уравнения (46). Помимо очевидной цели — научиться находить собственные функции, когда это необходимо, мы преследуем здесь и ряд других целей:

1. В результате изучения нескольких типичных случаев и отыскания собственных значений и собственных функций в некоторой мере облегчается достижение наглядности разложения по координатам.

2. Во многих случаях для получения окончательного результата мы будем вынуждены делать приближения. Нам необходимо выработать некоторую интуицию с тем, чтобы уметь оценивать, чем можно пренебречь, а что является важным.

3. Мы хотим увязать поведение собственных значений и собственных функций с более знакомыми понятиями, например, со спектральной функцией.

В § 3.4.1. иллюстрируется метод, оказывающийся полезным, если случайный процесс является стационарным и имеет рациональный спектр. В § 3.4.2 рассмотрены стационарные процессы с ограниченным спектром, а в § 3.4.3 — важнейший, нестационарный процесс.

Далее в § 3.4.4 вводится понятие «белого» процесса. В .§ 3.4.5 синтезирован оптимальный линейный фильтр для оценки сообщения на фоне помех. Наконец, в § 3.4 6 исследуется асимптотика собственных функций и собственных значений для больших интервалов времени.

3.4.1. Рациональные спектры

Первую группу интересующих нас случайных процессов составляют стационарные процессы, имеющие спектры, которые можно записать в виде отношения двух полиномов от

где - полином порядка по полином порядка по Так как предполагается, что имеет конечное среднеквадратическое значение, то Такие спектры называются рациональными.

Существует шаблонный, но утомительный метод решения. Основная идея чрезвычайно проста. Интегральное уравнение преобразуется в дифференциальное, решение которого можно легко найти. Затем найденное решение подставляется в исходное интегральное уравнение для удовлетворения граничным условиям. Сначала мы покажем применение этого метода на простом примере, а затем вернемся к рассмотрению общего случая и формализуем процедуру решения. (Подробное обсуждение сходных проблем имеется у Слепяна [9], Юла [10], Давенпорта и Рута [1], Ленинга и Бэттина [11], Дарлингтона [12], Хелстрома [13, 14], Заде и Рагазини [22].)

Пример. Пусть

или

Среднеквадратическое значение величины равно Интересующее нас интегральное уравнение имеет вид:

(При симметричном интервале выкладки значительно упрощаются).

Как указывалось выше, интегральное уравнение решается путем отыскания соответствующего дифференциального уравнения, решения последнего и подстановки этого решения обратно в интегральное уравнение. Сначала перепишем (79) так, чтобы исключить знак модуля,

Дифференцируя, получим

Второе дифференцирование дает

но первый член правой части есть просто Следовательно,

или,

Решение (83) имеет четыре возможные формы, соответствующие случаям:

Можно показать, что интегральное уравнение не удовлетворяется для условий 1, 3 и 4 (ср. задачу 3.4.1). Для условия 2 можно записать

Тогда

Подставив (87) в (80) и выполнив интегрирование, получим

Нетрудно убедиться, что если то (88) не удовлетворяется никогда. При требуем, чтобы При требуем, чтобы Комбинируя эти два соотношения, имеем

Значения удовлетворяющие (89), можно определить графически, как показано на рис. 3.8. Верхний ряд пересечений соответствует второму члену (89), а нижний ряд — первому. Соответствующие собственные значения равны

Отметим, что мы упорядочили решения (89) в виде Из (90) следует, что в результате этого собственные значения упорядочиваются в виде Решения, имеющие нечетные номера, соответствуют случаю следовательно,

Рис. 3.8. Графическое решение трансцендентного уравнения.

Решения, имеющие четные номера, соответствуют случаю следовательно,

Видим, что собственные функции являются косинусоидами и синусоидами, частоты которых не находятся в гармоническом соотношении.

В связи с этим примером можно сделать несколько интересных выводов.

1. Собственное значение, соответствующее данной собственной функции, равно высоте энергетического спектра на этой частоте.

2. При увеличении монотонно уменьшается, и, следовательно, монотонно возрастает.

3. По мере увеличения верхние точки пересечения имеют место приблизительно при нечетное), а нижние — примерно при четное). Из (91) и (92) следует, что

собственные функции более высоких индексов образуют приближенно ряд периодических синусоид и косинусоид

Такое поведение функций называется асимптотическим.

Первый вывод в общем виде несправедлив. Ниже (стр. 241) мы покажем, что всегда являются монотонно возрастающими функциями Мы также покажем, что асимптотическое поведение, установленное в данном примере, для стационарных процессов является типичным.

До сих пор рассматривался конкретный спектр. Вернемся теперь к рассмотрению общего случая.

Рассмотренный метод легко обобщить на произвольные рациональные спектры. Сначала запишем в виде отношения двух полиномов

Рассматривая (83), видим, что дифференциальное уравнение не зависит в явном виде от Эта независимость справедлива, если спектр имеет форму (93). Следовательно, мы получили бы то же самое дифференциальное уравнение, если бы начали наши выкладки с интегрального уравнения

Формальное решение этого уравнения получается сразу, если применить преобразование Фурье:

или

Существует однородных решений дифференциального уравнения, соответствующего (96), для каждого значения X (соответствующего корням полинома, заключенного в скобки). Обозначим их через Чтобы найти решение (46), подставим

в интегральное уравнение и решим его для тех значений которые Приводят к решению. При этом мы не встретим принципиальных трудностей, однако процедура решения громоздка и утомительна.

Один частный класс спектров служит в качестве полезной модели для многих физических процессов и также приводит к удобным решениям интегрального уравнения обсуждаемой задачи.

Рис. 3.9. Спектры Баттерворта.

Этот класс описывается уравнением

и называется классом Баттерворта. Спектры этого класса иллюстрируются рис. 3.9. При мы имеем простейший однополюсный спектр. При увеличении скорость нарастания ослабления от частоты при увеличивается. В пределе при мы имеем идеальный ограниченный по полосе спектр. В следующем параграфе будут рассмотрены собственные функции и собственные значения для спектра, ограниченного по полосе.