Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.3.7. Устойчивость результатов к отклонениям от принятой моделиДо сих пор предполагалось, что все величины, необходимые для синтеза оптимального приемника, точно известны. Теперь желательно исследовать влияние на качество обнаружения неполноты знания этих величин. Чтобы получить в явном виде некоторые результаты, обсудим этот вопрос для простой бинарной задачи на принятие решения, изложенной в § 4.3.1. Применительно к условиям данной задачи принятая модель характеризуется соотношениями:
где сигнал только сигнал. Теперь изменения могут быть связаны как с сигналом, так и с шумом. Типичные примеры на метод изменения параметра сформулированы ниже. 1. Пусть выбранное аналитическое представление сигнала имеет
а фактический сигнал равен
Найти зависимость 2. Пусть принятая в модели задачи ковариационная функция шума равна
а фактическая ковариационная функция имеет вид
Найти зависимость 3. Пусть в примере с мешающей целью в предыдущем параграфе (308) предполагаемый мешающий сигнал будет
Иначе говоря, он является задержанной копией полезного сигнала. Пусть действительный мешающий сигнал равен
Найти зависимость Приведенные примеры иллюстрируют типичные задачи на изменение параметра. Очевидно, что соответствующие вариации параметров зависят от конкретной интересующей нас физической проблемы. Почти во всех случаях последующие вычисления прямо приводят к цели. Ряд характерных примеров вынесен в задачи. Вариационно-функциональный подход является более интересным. Как и прежде, анализ ведется «на худший случай». Приведем два примера. 1. Пусть действительный сигнал равен
где
Для отыскания наихудшего случая выберем 2. Пусть действительный шум равен
а его ковариационная функция
Предполагается, что
Отсюда следует, что
Для отыскания наихудшего случая выбераем Возможны также различные другие отклонения и ограничения. Рассмотрим теперь простой вариант первой задачи. Вторая задача подробно изложена в [42]. Предполагается, что шумовой процесс стационарен и имеет спектр
или
Пусть действительный сигнал равен
где
а пространство решений имеет вид, представленный на рис. 4.48, в. Единственной величиной, претерпевшей изменение, является
Рис. 4.48. Анализ «чувствительности»: а — фильтр при номинальной входной величине; б - номинальное пространство решений; в — фактическое пространство решений. Дисперсия остается прежней, поскольку ковариационная функция шума не изменилась. Таким образом,
Для исследования устойчивости результатов к малым отклонениям от принятой модели необходимо сделать Если можно сделать
Это уравнение можно переписать через исходные величины, если учесть, что
и
Итак,
Условие (321) можно записать в виде
Для проведения анализа в расчете на наихудший случай минимизируем
Минимизируя относительно
(подстрочный индекс
Если этот интеграл существует, то
Подставляя в (335), а затем в (332), будем иметь
(Заметим, что (338) можно было бы получить и путем использования в (332) неравенства Буняковского — Шварца.) Используя эквивалентное выражение (325) для частотной области, будем иметь
В случае белого шума выражение в фигурных скобках обращается в единицу и получаемый результат совпадает с (82). Когда же шум не является белым, можно сделать несколько важных замечаний. 1. Если имеется компонента белого шума, то существуют оба интеграла, а выражение в фигурных скобках больше или равно единице. (Для доказательства этого свойства достаточно использовать в знаменателе неравенство Буняковского — Щварца.) Следовательно, в случае коррелированного шума малое отклонение параметров сигнала может вызывать существенное изменение качества обнаружения. 2. Если компонента белого шума отсутствует, а номинальный критерий не является сингулярным, то интеграл в знаменателе существует. Без дополнительных ограничений, налагаемых на спектры
где
a k выбрано так, чтобы удовлетворялось условие ограниченности энергии, налагаемое на сигнал 3. Аналогичные результаты можно получить для конечного интервала времени и нестационарных процессов в терминах собственных значений. В частности, можно показать (см., например, [42]), что условие
есть необходимое и достаточное условие устойчивости. Оно сходно с условием интегрируемости в квадрате для функции В этом параграфе были проанализированы некоторые идеи, связанные с исследованием чувствительности процедуры оптимального обнаружения. Хотя в силу допущения о наличии белого шума неустойчивые критерии из рассмотрения исключаются, возможность существования чувствительных критериев не отрицается. В любой практической. задаче весьма важно проверить чувствительность критерия к возможным вариациям параметров и функций. Можно найти случаи, когда критерий настолько чувствителен к отклонениям параметров или функций, что не имеет какой-либо практической ценности. В этих случаях целесообразно попытаться построить критерий, который номинально был бы субоптимальным, но вместе с тем менее чувствителен. Методы отыскания подобных критериев зависят от характера рассматриваемой задачи. Прежде чем закончить рассмотрение задачи с коррелированным шумом, кратко обсудим тесно с ней связанную задачу передачи сигналов по каналу с известными параметрами.
|
1 |
Оглавление
|