4.3.7. Устойчивость результатов к отклонениям от принятой модели

До сих пор предполагалось, что все величины, необходимые для синтеза оптимального приемника, точно известны. Теперь желательно исследовать влияние на качество обнаружения неполноты знания этих величин. Чтобы получить в явном виде некоторые результаты, обсудим этот вопрос для простой бинарной задачи на принятие решения, изложенной в § 4.3.1. Применительно к условиям данной задачи принятая модель характеризуется соотношениями:

где сигнал и ковариационная функция шума считаются известными. Точно так же, как в случае белого шума, существует два метода исследования устойчивости результатов к отклонениям от выбранной модели: вариационно-параметрический и вариационнофункциональный. В случае белого шума изменению подвергался

только сигнал. Теперь изменения могут быть связаны как с сигналом, так и с шумом.

Типичные примеры на метод изменения параметра сформулированы ниже.

1. Пусть выбранное аналитическое представление сигнала имеет

а фактический сигнал равен

Найти зависимость от .

2. Пусть принятая в модели задачи ковариационная функция шума равна

а фактическая ковариационная функция имеет вид

Найти зависимость от

3. Пусть в примере с мешающей целью в предыдущем параграфе (308) предполагаемый мешающий сигнал будет

Иначе говоря, он является задержанной копией полезного сигнала. Пусть действительный мешающий сигнал равен

Найти зависимость от

Приведенные примеры иллюстрируют типичные задачи на изменение параметра. Очевидно, что соответствующие вариации параметров зависят от конкретной интересующей нас физической проблемы. Почти во всех случаях последующие вычисления прямо приводят к цели. Ряд характерных примеров вынесен в задачи.

Вариационно-функциональный подход является более интересным. Как и прежде, анализ ведется «на худший случай». Приведем два примера.

1. Пусть действительный сигнал равен

где

Для отыскания наихудшего случая выберем так, чтобы сделать как можно более отрицательным.

2. Пусть действительный шум равен

а его ковариационная функция

Предполагается, что имеет конечную энергию на интервале т. е.

Отсюда следует, что

Для отыскания наихудшего случая выбераем так, чтобы сделать как можно более отрицательным.

Возможны также различные другие отклонения и ограничения. Рассмотрим теперь простой вариант первой задачи. Вторая задача подробно изложена в [42].

Предполагается, что шумовой процесс стационарен и имеет спектр а интервал наблюдения бесконечен. Оптимальный приемник, использующий декоррелирующий фильтр (см. рис. 4.38, a), показан на рис. 4.48, а. Соответствующее пространство решений изображено на рис. 4.48, б. Номинальное качество обнаружения равно

или

Пусть действительный сигнал равен

где имеют единичную энергию. Выход декоррелирующего фильтра будет равен

а пространство решений имеет вид, представленный на рис. 4.48, в. Единственной величиной, претерпевшей изменение, является

Рис. 4.48. Анализ «чувствительности»: а — фильтр при номинальной входной величине; б - номинальное пространство решений; в — фактическое пространство решений.

Дисперсия остается прежней, поскольку ковариационная функция шума не изменилась. Таким образом,

Для исследования устойчивости результатов к малым отклонениям от принятой модели необходимо сделать как можно отрицательнее.

Если можно сделать то действительной рабочей характеристикой будет линия эквивалентная случайному критерию испытания. Если то действительный критерий будет хуже случайного (см. рис. 2.9, а). Следует отметить, что ограничение налагается на энергию сигнала а не Используя теорему Парсеваля, запишем (328) в виде

Это уравнение можно переписать через исходные величины, если учесть, что

и

Итак,

Условие (321) можно записать в виде

Для проведения анализа в расчете на наихудший случай минимизируем при ограничении (333) методом коэффициентов Лагранжа. Пусть

Минимизируя относительно получим

(подстрочный индекс означает «оптимальное»). Для вычисления к подставим (335) в (333), в результате чего получим

Если этот интеграл существует, то

Подставляя в (335), а затем в (332), будем иметь

(Заметим, что (338) можно было бы получить и путем использования в (332) неравенства Буняковского — Шварца.) Используя эквивалентное выражение (325) для частотной области, будем иметь

В случае белого шума выражение в фигурных скобках обращается в единицу и получаемый результат совпадает с (82). Когда же шум не является белым, можно сделать несколько важных замечаний.

1. Если имеется компонента белого шума, то существуют оба интеграла, а выражение в фигурных скобках больше или равно единице. (Для доказательства этого свойства достаточно использовать в знаменателе неравенство Буняковского — Щварца.) Следовательно, в случае коррелированного шума малое отклонение параметров сигнала может вызывать существенное изменение качества обнаружения.

2. Если компонента белого шума отсутствует, а номинальный критерий не является сингулярным, то интеграл в знаменателе существует. Без дополнительных ограничений, налагаемых на спектры интеграла в числителе может не существовать. Если он не существует, то сделанный выше вывод оказывается несправедливым. В этом случае можно найти такой спектр что будет меньше любого заданного Выберем

где есть такая область, что

a k выбрано так, чтобы удовлетворялось условие ограниченности энергии, налагаемое на сигнал Нетрудно видеть, что в отсутствие белого шума существует такое отклонение сигнала от номинала, какое делает качество критерия сколь-угодно малым. Подобные критерии называются неустойчивыми (или бесконечно чувствительными к отклонениям). Таким образом, требование устойчивости является более строгим, чем требование несингулярности, и предположение о наличии белого шума гарантирует несингулярный, устойчивый критерий. Очевидно, что несмотря на свою устойчивость, критерий может оказаться чрезмерно чувствительным к отклонениям.

3. Аналогичные результаты можно получить для конечного интервала времени и нестационарных процессов в терминах собственных значений. В частности, можно показать (см., например, [42]), что условие

есть необходимое и достаточное условие устойчивости. Оно сходно с условием интегрируемости в квадрате для функции

В этом параграфе были проанализированы некоторые идеи, связанные с исследованием чувствительности процедуры оптимального обнаружения. Хотя в силу допущения о наличии белого шума неустойчивые критерии из рассмотрения исключаются, возможность существования чувствительных критериев не отрицается. В любой практической. задаче весьма важно проверить чувствительность критерия к возможным вариациям параметров и функций. Можно найти случаи, когда критерий настолько чувствителен к отклонениям параметров или функций, что не имеет какой-либо практической ценности. В этих случаях целесообразно попытаться построить критерий, который номинально был бы субоптимальным, но вместе с тем менее чувствителен. Методы отыскания подобных критериев зависят от характера рассматриваемой задачи.

Прежде чем закончить рассмотрение задачи с коррелированным шумом, кратко обсудим тесно с ней связанную задачу передачи сигналов по каналу с известными параметрами.