3.8. Краткие итоги
В этой главе был развит аппарат для описания и задания случайных процессов. Основное внимание было уделено одному из методов представления, который особенно удобен для решения таких задач обнаружения и оценки, в которых случайные процессы имеют нормальный (гауссов) характер. Для негауссовых процессов подобное представление обеспечивает адекватное задание вторых моментов, однако оказывается не особенно полезным в качестве метода полного описания процесса.
Для конечных интервалов времени желательным представлением является ряд ортонормированных функций, коэффициенты которого — некоррелированные случайные величины. Выбор координатных функций зависит от ковариационной функции данного процесса через интегральное уравнение
Собственные значения X физически соответствуют ожидаемому значению энергии поданной координатной функции
Мы показали, что это представление полезно как с теоретической, так и с практической точки зрения. Было рассмотрено несколько классов процессов, для которых могут быть получены решения уравнения (271). Один из примеров таких процессов — простой винеровский процесс — логически подводит нас к понятию процесса типа белого шума. Позднее мы будем иметь возможность убедиться, что этот процесс является весьма полезным инструментом во многих наших исследованиях.
Для иллюстрации возможных приложений рассмотренных методов разложения была решена задача оптимальной линейной фильтрации на конечном интервале времени. Оптимальный фильтр для аддитивного белого шума соответствует решению интегрального уравнения
Это решение может быть выражено через собственные функции и собственные значения.
Для больших интервалов времени было установлено, что собственные значения стационарного процесса приближаются к энергетиче-кому спектру процесса, а собственные функции становятся синусоидальными. Поэтому для данного класса задач разложение в ряд можно интерпретировать при помощи известных величин.
Для бесконечных интервалов времени и стационарных процессов собственные значения не являются счетными и ими уже нельзя пользоваться. В этом случае, приняв в качестве исходного периодический процесс и устремив его период к бесконечности, мы получаем полезное представление. Вместо разложения в ряд для каждой выборочной функции в этом случае используется интегральное представление
Функция
является интегральным преобразованием
Это выборочная функция случайного процесса с некоррелированными приращениями по частоте. Для гауссового процесса эти приращения являются независимыми. Таким образом, величины приращений для бесконечного интервала времени играют точно такую же роль, что и коэффициенты ряда на конечном интервале времени. Одно из возможных приложений данного свойства было показано на простом примере.
Наконец, рассмотренные понятия и представления были распространены на векторные случайные процессы. Наиболее существенный результат такого подхода заключается в том, что мы получили возможность описывать процесс при помощи скалярных коэффициентов.
Эти методы представления случайных процессов найдут применение в гл. 4 для решения задач обнаружения и оценки.
3.9. Задачи
(см. скан)