2.6.1. Равные ковариационные матрицы

Первый интересующий нас случай соответствует ситуации, когда ковариационные матрицы по обеим гипотезам равны

но средние значения не равны.

Обозначим обратную матрицу через

Подставляя (328) и (329) в (327), перемножая матрицы, приводя подобные члены и используя симметрию имеем

Это выражение можно упростить, если ввести вектор, соответствующий разности средних значений векторов по двум гипотезам:

Тогда (327) обращается в

или, что эквивалентно,

Величина, стоящая в левой части, является скалярной нормальной случайной величиной, так как она была получена в результате линейного преобразования совместно нормальных случайных величин. Следовательно, как было показано в примере 1 на стр. 49 — 51, качество критерия можно полностью характеризовать величиной которая определялась как квадрат расстояния между средними

значениями по двум гипотезам, когда дисперсия нормировалась так, чтобы она была равна единице. Тождественным определением является

Подставляя (320) в определение I, имеем

и

Используя (332), (333) и (336), получаем

Используя (321) для оценки математического ожидания, а затем (323), имеем

Подставляя (335), (336) и (338) в (334), получаем

Итак, качество критерия для случая равных ковариационных матриц в гауссовой задаче полностью определяется квадратичной формой (339). Попытаемся интерпретировать это для нескольких представляющих интерес случаев.

Случай 1. Независимые компоненты с равными дисперсиями. Все имеют одинаковые дисперсии и статистически независимы. Таким образом,

и

Подставляя (341) в (339), получаем

или

Видим, что соответствует расстоянию между двумя векторами-средними, деленному на среднеквадратическое отклонение величины Это показано на рис. 2.32. Из (332) явствует, что

Таким образом, достаточная статистика есть просто скалярное произведение наблюдаемого вектора и средней разности векторов

Рис. 2.32. Векторы средних значений.

Случай 2. Независимые компоненты с неравными дисперсиями. Здесь статистически независимы, но имеют разные дисперсии. Таким образом,

и

Подставив (346) в (339) и выполнив умножение, получим

Теперь различные разностные компоненты участвуют в формировании со своими весами, которые обратно пропорциональны дисперсиям по соответствующим координатным осям. Этот результат можно

также истолковать как расстояние в новой системе координат. Пусть

и

Это преобразование изменяет масштаб по каждой оси так, что все дисперсии становятся равными единице. Мы видим, что точно соответствует вектору-разности в этой преобразованной системе координат.

Достаточная статистика равна

В преобразованной координатной системе она равна скалярному произведению двух векторов:

Случай 3. Это общий случай. Удовлетворительный ответ для дают (332) и (339):

и

Смысл наиболее существенных моментов данной задачи раскрывается весьма наглядно, если подойти к ней с несколько иной точки зрения.

Упрощения случаев 1 и 2 можно достигнуть при помощи диагональной ковариационной матрицы. Этим самым предполагается, что мы пытаемся представить в новой системе координат, в которой компоненты вектора являются статистически независимыми случайными величинами. На рис. 2.33, а показаны результаты наблюдения в исходной системе координат. На рис. 2.33, б изображена новая система координатных осей, обозначенных ортами

Обозначим результат наблюдения в новой координатной системе через Требуется выбрать ориентацию новой системы координат так, чтобы компоненты были некоррелированными (а следовательно, и

статистически независимыми, так как они являются нормальными) при всех Другими словами,

где

и

Рис. 2.33. Системы координат: а — исходная система координат; б - новая система координат.

Теперь компоненты вектора можно выразить весьма просто в виде скалярного произведения исходного вектора и всевозможных ортов:

Используя (358) в (355), получаем

Математическое ожидание от случайной части есть просто К [см. (321)]. Поэтому (359) приобретает вид

Это уравнение удовлетворяется тогда и только тогда, когда

Для проверки необходимости условия (361) подставим его в (360):

где правая часть равенства вытекает из (354). Условие достаточности легко доказывается от противного. Теперь (361) можно записать, опустив подстрочный индекс

Мы видим, что вопрос отыскания соответствующей системы координат сводится к вопросу, сможем ли мы найти решений уравнения (363), которые удовлетворяли бы (354).

Целесообразно выписать (363) подробно. Каждое есть вектор, имеющий компонентов:

Подставляя (364) в (363), получаем

Мы видим, что (365) соответствует системе из однородных уравнений. Нетривиальное решение этой системы существует тогда и только тогда, когда детерминант матрицы коэффициентов равен нулю. Другими словами, если и только если

Это есть полином порядка относительно корней, обозначаемых через называются собственными значениями ковариационной матрицы К. Можно показать, что справедливы следующие свойства (см., например, [16] или [18]):

1. Так как матрица К симметрична, то собственные значения вещественны.

2. Поскольку матрица К является ковариационной, собственные значения неотрицательны. (В противном случае мы имели бы случайные величины с отрицательными дисперсиями.)

Для каждого мы можем найти решение уравнения (363). Поскольку с каждым решением (363) связана соответствующая произвольная постоянная, то можно выбрать так, чтобы его модуль был равен единице, т. е.

Эти решения называются нормированными собственными векторами матрицы К. Для симметричных матриц можно также указать два других свойства.

3. Если корни различны, то соответствующие собственные векторы ортогональны.

4. Если какой-либо корень имеет кратность то соответствующих собственных векторов линейно независимы. Их можно выбирать так, чтобы они были ортонормированными.

Итак, мы описали координатную систему, в которой наблюдения являются статистически независимыми. Среднеразностный вектор можно выразить как

или в векторном представлении

Результирующая достаточная статистика в новой координатной системе равна

а

Выкладки, приведшие нас к (371), были довольно сложными, но данный результат имеет фундаментальное значение, так как он показывает, что всегда существует координатная система, в которой случайные величины некоррелированны, и что новая система связана с исходной линейным преобразованием. Для иллюстрации этого метода рассмотрим один простой пример.

Пример. Ради простоты положим Пусть

и

Для отыскания собственных значений решим уравнение

или

Решая (375), находим,

Чтобы найти подставим в (365):

Решая (377), получим

Рис. 2.34. Поворот координатных осей.

После нормировки имеем

Аналогично,

Старая и новая системы координат показаны на рис. 2.34. Преобразование можно записать в виде

Достаточную статистику определим, используя (382) в (370):

и

Для иллюстрации типичного случая применения, когда подобное преобразование приобретает большое значение, рассмотрим одну простую задачу оптимизации. Модуль вектор-среднего ограничен

Требуется выбрать чтобы максимизировать Так как наше преобразование сводится к повороту, то модули векторов при этом сохраняют свои величины:

Решение уравнения (384) получим путем проверки:

Легко усмотреть, что это соответствует выбору вектор-среднего, равного собственному вектору с наименьшим собственным значением. Этот результат нетрудно распространить на случай измерений.

Результат данного примера характерен для широкого класса задач оптимизации, в которых решение соответствует собственному вектору (или аналогичному ему сигналу).

В изложенном параграфе было показано, что когда ковариационные матрицы по обеим гипотезам равны, то достаточная статистика есть нормальная случайная величина, получаемая путем линейного преобразования Качество критерия при любой установке порога определяется значением получаемым из уравнения (339) на рабочей характеристике приемника рис. 2.9. Ввиду того что качество улучшается монотонно с возрастанием для максимизации можно пользоваться неограниченной свободой при выборе параметров, не рассматривая рабочей характеристики приемника детально.