Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.6.1. Равные ковариационные матрицыПервый интересующий нас случай соответствует ситуации, когда ковариационные матрицы по обеим гипотезам равны
но средние значения не равны. Обозначим обратную матрицу через
Подставляя (328) и (329) в (327), перемножая матрицы, приводя подобные члены и используя симметрию
Это выражение можно упростить, если ввести вектор, соответствующий разности средних значений векторов по двум гипотезам:
Тогда (327) обращается в
или, что эквивалентно,
Величина, стоящая в левой части, является скалярной нормальной случайной величиной, так как она была получена в результате линейного преобразования совместно нормальных случайных величин. Следовательно, как было показано в примере 1 на стр. 49 — 51, качество критерия можно полностью характеризовать величиной значениями по двум гипотезам, когда дисперсия нормировалась так, чтобы она была равна единице. Тождественным определением является
Подставляя (320) в определение I, имеем
и
Используя (332), (333) и (336), получаем
Используя (321) для оценки математического ожидания, а затем (323), имеем
Подставляя (335), (336) и (338) в (334), получаем
Итак, качество критерия для случая равных ковариационных матриц в гауссовой задаче полностью определяется квадратичной формой (339). Попытаемся интерпретировать это для нескольких представляющих интерес случаев. Случай 1. Независимые компоненты с равными дисперсиями. Все
и
Подставляя (341) в (339), получаем
или
Видим, что
Таким образом, достаточная статистика есть просто скалярное произведение наблюдаемого вектора
Рис. 2.32. Векторы средних значений. Случай 2. Независимые компоненты с неравными дисперсиями. Здесь
и
Подставив (346) в (339) и выполнив умножение, получим
Теперь различные разностные компоненты участвуют в формировании также истолковать как расстояние в новой системе координат. Пусть
и
Это преобразование изменяет масштаб по каждой оси так, что все дисперсии становятся равными единице. Мы видим, что Достаточная статистика равна
В преобразованной координатной системе она равна скалярному произведению двух векторов:
Случай 3. Это общий случай. Удовлетворительный ответ для
и
Смысл наиболее существенных моментов данной задачи раскрывается весьма наглядно, если подойти к ней с несколько иной точки зрения. Упрощения случаев 1 и 2 можно достигнуть при помощи диагональной ковариационной матрицы. Этим самым предполагается, что мы пытаемся представить
Обозначим результат наблюдения в новой координатной системе через статистически независимыми, так как они являются нормальными) при всех
где
и
Рис. 2.33. Системы координат: а — исходная система координат; б - новая система координат. Теперь компоненты вектора
Используя (358) в (355), получаем
Математическое ожидание от случайной части есть просто К [см. (321)]. Поэтому (359) приобретает вид
Это уравнение удовлетворяется тогда и только тогда, когда
Для проверки необходимости условия (361) подставим его в (360):
где правая часть равенства вытекает из (354). Условие достаточности легко доказывается от противного. Теперь (361) можно записать, опустив подстрочный индекс
Мы видим, что вопрос отыскания соответствующей системы координат сводится к вопросу, сможем ли мы найти Целесообразно выписать (363) подробно. Каждое
Подставляя (364) в (363), получаем
Мы видим, что (365) соответствует системе из
Это есть полином 1. Так как матрица К симметрична, то собственные значения вещественны. 2. Поскольку матрица К является ковариационной, собственные значения неотрицательны. (В противном случае мы имели бы случайные величины с отрицательными дисперсиями.) Для каждого
Эти решения называются нормированными собственными векторами матрицы К. Для симметричных матриц можно также указать два других свойства. 3. Если корни 4. Если какой-либо корень Итак, мы описали координатную систему, в которой наблюдения являются статистически независимыми. Среднеразностный вектор можно выразить как
или в векторном представлении
Результирующая достаточная статистика в новой координатной системе равна
а
Выкладки, приведшие нас к (371), были довольно сложными, но данный результат имеет фундаментальное значение, так как он показывает, что всегда существует координатная система, в которой случайные величины некоррелированны, и что новая система связана с исходной линейным преобразованием. Для иллюстрации этого метода рассмотрим один простой пример. Пример. Ради простоты положим
и
Для отыскания собственных значений решим уравнение
или
Решая (375), находим,
Чтобы найти
Решая (377), получим
Рис. 2.34. Поворот координатных осей. После нормировки имеем
Аналогично,
Старая и новая системы координат показаны на рис. 2.34. Преобразование можно записать в виде
Достаточную статистику определим, используя (382) в (370):
и
Для иллюстрации типичного случая применения, когда подобное преобразование приобретает большое значение, рассмотрим одну простую задачу оптимизации. Модуль вектор-среднего ограничен
Требуется выбрать
Решение уравнения (384) получим путем проверки:
Легко усмотреть, что это соответствует выбору вектор-среднего, равного собственному вектору с наименьшим собственным значением. Этот результат нетрудно распространить на случай Результат данного примера характерен для широкого класса задач оптимизации, в которых решение соответствует собственному вектору (или аналогичному ему сигналу). В изложенном параграфе было показано, что когда ковариационные матрицы по обеим гипотезам равны, то достаточная статистика
|
1 |
Оглавление
|