6.2.4. Выражения для ошибки в замкнутой форме

В этом параграфе мы установим ряд полезных результатов в замкнутой форме для частного класса задач оптимальной линейной фильтрации. Представляет интерес случай, когда

Иначе говоря, принимаемый сигнал состоит из сообщения и аддитивной помехи. Полезным сигналом является сообщение Предполагается, что помеха и сигнал некоррелированы. Спектр сообщения — рациональный с конечной дисперсией. Нашей целью является отыскание выражения для ошибки, которое не требует разложения спектра. Основные результаты этого параграфа были первоначально получены Йовитцем и Джексоном [4]. Удобно рассматривать белую и небелую помехи раздельно.

Ошибка в присутствии белого шума. Предположим, что белый шум со спектральной плотностью Хотя данный результат был впервые получен Йовитцем и Джексоном, гораздо более простые доказательства были даны Витерби и Каном [5], Снайдером [6] и Хелстромом [57]. Мы будем пользоваться этими доказательствами комбинированно. Из (128) имеем

и

Из (78)

или

Далее, первый член в скобках есть просто которая является реализуемой частью. Так как оператор реализуемой части линеен, первый член выходит за скобки без какой-либо модификации.

Поэтому

Вынесем за фигурные скобки и введем остающийся внутрь оператора Операция является разложением на множители, поэтому получим внутри скобок:

Следующий этап — доказать, что реализуемая часть члена в фигурных скобках равна единице.

Доказательство. Пусть рациональный спектр. Тогда

где знаменатель есть многочлен по степеням порядок которого по крайней мере на единицу выше, чем у многочлена в числителе. Тогда

Заметьм, что здесь нет дополнительного множителя, поскольку члены наивысшего порядка в числителе и в знаменателе совпадают.

Величины а и можно всегда выбрать так, чтобы их действительные части были положительными. Если любое из или величина комплексная, то сопряженная величина также присутствует. Инверсируя обе части (138) и разлагая результат на множители, получим

Преобразования всех множителей произведения, за исключением единичного члена, будут равны нулю для положительного времени (их полюсы находятся в правой половине -плоскости). Перемножение членов соответствует свертке их преобразований. Свертка функций, равных нулю для положительного времени, всегда дает функции, которые

равны нулю для положительного времени. Поэтому, когда мы берем реализуемую часть (140), сохраняется только единичный член. Это и есть требуемый результат. Следовательно,

Выведем далее выражение для ошибки. Из формул (27) — (28) свойства известно, что

для случая, инвариантного во времени. Мы также знаем, что

так как реализуема. Объединяя (142) и (143), получим

Используя (141) в (144), будем иметь

Используя комплексно-сопряженную величину (139) в (145), получим

Разлагая произведение, имеем

Интеграл в первом слагаемом представляет собой просто половину суммы вычетов (в этом легко удостовериться). Покажем теперь, что второе слагаемое равно нулю. Так как подынтегральная функция во втором слагаемом является аналитической в правой части -плоскости, несобственный интеграл равен криволинейному интегралу, взятому по полуокружности бесконечного радиуса. Однако все члены в квадратных скобках при больших имеют порядок не ниже Поэтому интеграл по полуокружности равен нулю. Следовательно,

Нам остается только найти выражение в замкнутой форме для суммы вычетов. Его нетрудно получить, если заметить, что

(Для доказательства этого равенства проинтегрируем левую часть по частям при

Сравнивая (150), (151) и (138), получаем нужный результат:

Используются обе формы записи выражения для ошибки [(150) и (152)]. Первая форма записи часто является наиболее удобной для фактической оценки ошибки. Вторая форма записи полезна тогда, когда необходимо найти минимизирующую при определенных ограничениях.

Следует подчеркнуть важность (152). В классической теории Винера для исследования свойств спектров различных сообщений приходилось фактически производить разложение спектра входного сигнала. Результат (152) позволяет исследовать поведение ошибки непосредственно. В последующих главах мы убедимся в важности этого выражения при решении задачи введения оптимальных предыскажений при угловой модуляции и в других сходных случаях.

Попутно отметим, что интеграл в правой части (152) равен удвоенному среднему количеству взаимной информации (по определению Шеннона) между

Выражения для ошибки при типичных спектрах сообщений. Рассмотрим два семейства спектров сообщений. Для каждого семейства используем (152) с целью вычисления ошибки при применении оптимального реализуемого фильтра. Для оценки выигрыша, получаемого в результате введения задержки, будем также использовать (124) при вычислении нереализуемой ошибки.

Случай 1. Семейство спектров Баттерворта. Процессы сообщений в данном классе имеют спектральные плотности, обратные полиномам Баттерворта порядка Из (3.98)

Числитель (153) есть просто коэффициент усиления, отрегулированный так, - что мощность в спектре сообщения равна

Некоторые кривые этого семейства показаны на рис. 6.16. При имеем однополюсный спектр, рассмотренный в § 6.2.1.

Рис. 6.16. Спектр Баттерворта.

Точка изгиба имеет место при огибающая спектра за этой точкой спадает со скоростью При больших изгиб остается в той же точке, но огибающая спектра спадает со скоростью При мы имеем ограниченный по полосе спектр с прямоугольной огибающей высотой и шириной Если использовать Гц в качестве удельной ширины (двустороннего) спектра, то отношение сигнал/шум не будет зависеть от и мы получим полезное соотношение

Для отыскания используем (152)

Это выражение можно проинтегрировать (см. задачу 6.2.18) и получить следующее выражение для нормированной ошибки

Аналогично, для отыскания нереализуемой ошибки используем (124):

В результате интегрирования (см. задачу 6.2.19) получим

Зависимость величины, обратной нормированной ошибке, от представлена на рис. 6.17. Обращает на себя внимание сильная зависимость поведения ошибки от Однополюсный спектр — наиболее неблагоприятный спектр при фильтрации. Его асимптотика линейна, тогда как ограниченный по полосе спектр имеет экспоненциальную асимптотику.

Рис. 6.17. Величина, обратная среднему квадрату ошибки в случае спектра Баттерворта: а — реализуемого; б - нереализуемого.

Нетрудно видеть также, что при или 4 помехоустойчивость фильтра достаточно близка к помехоустойчивости в случае ограниченного по полосе спектра Поэтому однополюсный спектр сообщения, используемый обычно в качестве примера, обладает самой низкой помехоустойчивостью.

Второй вывод касается различия в выигрыше, получаемом за счет использования нереализуемого фильтра. Для однополюсного спектра

Иначе говоря, максимально возможное отношение равно 2 (или 3 дБ). В другом крайнем случае, при

тогда как

Таким образом, отношение ошибок равно

Для можно достичь заметного выигрыша при больших за счет введения задержки.

Случай 2. Семейство гауссовых спектров. Второй класс спектров описывается выражением

Такие спектры можно получить путем пропускания белого шума через независимых однополюсных фильтров. В пределе при имеем гауссов спектр

Семейство гауссовых спектров показано на рис. 6.18. Заметим, что при оба случая совпадают.

Выражения для обеих ошибок имеют соответственно вид

и

Чтобы вычислить перепишем (165) в виде (150). Для рассматриваемого случая вычисления а и не вызывают затруднений [53]. Результаты для и 5 представлены на рис. 6.19, а. При наиболее практичный подход заключается в выполнении интегрирования численными методами. Мы вычисляем (166), используя разложение на неприводимые многочлены. Так как уже найдены, вычисление остатков не встречает затруднений. Результаты для и 5 показаны на рис. 6.19, б. Для результат получен численным

интегрированием. Сравнивая рис. 6.17 и 6.19, видим, что гауссов спектр фильтровать труднее, чем спектр, ограниченный по полосе. Заметим, что предельные спектры в обоих классах являются нерациональными (кроме того, они являются неразложимыми).

Рис. 6.18. Семейство гауссовых спектров.

Выше мы применили некоторые из результатов, имеющих замкнутую форму, к частному случаю фильтрации в присутствии аддитивного белого шума. Рассмотрим теперь кратко некоторые родственные задачи.

Рис. 6.19. Величина, обратная среднему квадрату ошибки в случае класса гауссовых спектров.

Коррелированный (небелый) шум и линейные операции. Преимуществом выражения (152) является его простота. При переходе к более сложным спектрам помех выражения для ошибок становятся более громоздкими. Почти во всех случаях эти выражения для ошибок вычислить легче, чем соответствующие выражения, полученные при помощи классического метода Винера.

Для наших целей достаточно перечислить ряд случаев, для которых были получены ответы. Выводы для некоторых из результатов содержатся в задачах вне основного текста (см. задачи 6.2.20-6.2.26).

1. Передается сообщение Аддитивная помеха имеет спектр, содержащий только полюсы.

2. Перед передачей сообщение пропускается через линейный оператор, передаточная функция которого содержит только нули. Аддитивная помеха является белым шумом.

3. Передается сообщение Помеха имеет полиномиальный спектр

4. Сообщение пропускается через линейный оператор, передаточная функция которого содержит только полюсы. Шум является белым.

Укажем, что случаи 2 и 4 приводят к таким же выражениям для ошибок, что и случаи 1 и 3 соответственно.

Чтобы проиллюстрировать форму ответа, приведем результаты для типичных задач на случаи 1 и 4.

Пример (на случай 1). Пусть аддитивная помеха не коррелирована с сообщением и имеет спектр

Тогда

Этот результат выводится в задаче 6.2.20.

Пример (на случай 4). Сообщение перед передачей интегрируется:

Тогда

где

Этот результат выводится в задаче 6.2.25.

Следует указать, что форма выражения для ошибки зависит только от формы спектра помехи или от типа линейной операции. Это позволяет нам изменять спектр сообщения и без затруднений исследовать его влияние на вероятность ошибки при фильтрации.

В качестве последнего вопроса в нашем обсуждении проблемы винеровской фильтрации рассмотрим оптимальные системы с обратной связью.