Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.6.2. Равные вектор-средниеВо втором интересующем нас частном случае вектор-средние по обеим гипотезам равны, т. е.
Подставляя (387) в (327), имеем
Так как вектор-средние не содержат никакой информации, которая говорила бы нам, какая из гипотез является истинной, то при испытании по критерию отношения правдоподобия они вычитаются из принятого вектора. Поэтому, не теряя общности, мы можем принять Обозначим разность обратных матриц через
Алгоритм испытания по критерию отношения правдоподобия можно записать в виде
Заметим, что Рассмотрим теперь поведение этого критерия в некоторых интересующих нас частных случаях. Случай 1. Диагональная ковариационная матрица по гипотезе Н: равные дисперсии. Здесь
Мы увидим позднее, что (391) соответствует такой физической ситуации, когда «шум» имеется только по гипотезе
где матрица
и
Формулу (395) удобно записать в виде
откуда следует, что
Матрица
Рассмотренный случай, в свою очередь, включает в себя три подслучая. Случай 1А. Некоррелированные, одинаково распределенные компоненты сигнала. В этом случае компоненты сигнала
Поэтому
или
и
Постоянную величину можно учесть величиной порога. При этом
Вычислим теперь качество критерия. По обеим гипотезам Для отыскания
Ввиду независимости указанных величин
Произведя обратное преобразование, получим распределение
известное как распределение
где Выражения для
и
Построение рабочей характеристики приемника требует оценки обоих приведенных интегралов. Нетрудно заметить, что для случая
и
Для общего случая существует несколько методов вычислений. Прежде всего, положим
Данный интеграл, именуемый неполной гамма-функцией, был табулирован Пирсоном [21]. В [21] приведены таблицы для функций
и
Наиболее полезными являются таблицы для При втором методе вычисления производится
Для малых
Кроме того, можно аппроксимировать выражение в квадратных скобках посредством
Аналогичное соотношение получается и для Особенно интересными являются две кривые, соответствующие Случай 1Б. Независимые компоненты сигнала: неодинаковые дисперсии. В этом случае компоненты сигнала
(кликните для просмотра скана) и
Характеристическая функция Случай 1В. Произвольные компоненты сигнала. Этот случай, несомненно, является общим. Мы вновь обратились к нему просто для того, чтобы указать, что его всегда можно свести к случаю 1Б посредством ортогонального преобразования (см. рассуждения на стр. 110—114). Случай 2. Симметричные гипотезы, некоррелированный шум. Случай 1 был несимметричным, поскольку имелась гипотеза о наличии одного шума. В данном случае имеем следующие гипотезы:
где
и
где мы подразделили
Используя (397), имеем
где согласно (397) матрица
Если разбить
то
Частные случаи, аналогичные Случай 2А. Некоррелированные, одинаково распределенные компоненты сигнала. Пусть
тогда
Если гипотезы равновероятны, а критерием является минимум
Вероятность ошибки при условии, что истинна гипотеза Ни есть вероятность того, что
Таким образом,
Подставляя (406) и (407) в (432б), вспоминая, что
Полагая
и интегрируя, сведем (432в) к виду
Этот результат принадлежит Пирсу [22]. Это выражение имеет замкнутую форму, но пользоваться им утомительно. Отложим построение графика выражения (434) до § 2.7, где для сравнения будет выведено приближенное соотношение. Случай 2Б. Некоррелированные компоненты сигнала: неодинаковые дисперсии. В этом случае
Легко показать, что
Как и в случае 1Б, вычисление качества встречает затруднение. Приближенные выражения, полученные в § 2.7, в этом случае также оказываются полезными.
|
1 |
Оглавление
|