2.6.2. Равные вектор-средние

Во втором интересующем нас частном случае вектор-средние по обеим гипотезам равны, т. е.

Подставляя (387) в (327), имеем

Так как вектор-средние не содержат никакой информации, которая говорила бы нам, какая из гипотез является истинной, то при

испытании по критерию отношения правдоподобия они вычитаются из принятого вектора. Поэтому, не теряя общности, мы можем принять

Обозначим разность обратных матриц через

Алгоритм испытания по критерию отношения правдоподобия можно записать в виде

Заметим, что есть скалярное произведение двух нормальных векторов и Поэтому не является нормальной случайной величиной.

Рассмотрим теперь поведение этого критерия в некоторых интересующих нас частных случаях.

Случай 1. Диагональная ковариационная матрица по гипотезе Н: равные дисперсии. Здесь по являются статистически независимыми величинами с одинаковыми дисперсиями:

Мы увидим позднее, что (391) соответствует такой физической ситуации, когда «шум» имеется только по гипотезе Удобно ввести следующее обозначение:

по гипотезе содержит ту же самую величину, что и по гипотезе плюс дополнительные компоненты сигнала, которые могут быть коррелированными:

где матрица представляет ковариационную матрицу компонентов сигнала. Тогда

и

Формулу (395) удобно записать в виде

откуда следует, что

Матрица имеет важный смысл, который мы раскроем позднее. Первое выражение из (397) мы возьмем в качестве ее определения. Подставляя (397) в, (389), а результат — в (390), получаем

Рассмотренный случай, в свою очередь, включает в себя три подслучая.

Случай 1А. Некоррелированные, одинаково распределенные компоненты сигнала. В этом случае компоненты сигнала являются независимыми величинами с одинаковыми дисперсиями:

Поэтому

или

и

Постоянную величину можно учесть величиной порога. При этом

Вычислим теперь качество критерия. По обеим гипотезам представляет собой сумму квадратов нормальных величин. Различие гипотез заключается в дисперсии нормальных величин. Ради простоты предположим, что есть четное целое.

Для отыскания заметим, что характеристическая функция каждого равна

Ввиду независимости указанных величин можно записать в виде произведения. Следовательно,

Произведя обратное преобразование, получим распределение

известное как распределение (хи-квадрат) с степенями свободы. Это распределение табулировано в нескольких пособиях (см., например, [19], [3]). Для легко проверить, что оно является просто экспоненциальным распределением (стр. 53). Аналогично,

где

Выражения для и имеют вид

и

Построение рабочей характеристики приемника требует оценки обоих приведенных интегралов. Нетрудно заметить, что для случая имеем такую же задачу, что и на стр. 53, и (408) и (409) сводятся к виду

и

Для общего случая существует несколько методов вычислений. Прежде всего, положим Тогда можно написать

Данный интеграл, именуемый неполной гамма-функцией, был табулирован Пирсоном [21]. В [21] приведены таблицы для функций

и

Наиболее полезными являются таблицы для и

При втором методе вычисления производится -кратное интегрирование по частям, результатом чего является

Для малых значение велико и ряд можно аппроксимировать несколькими последними членами:

Кроме того, можно аппроксимировать выражение в квадратных скобках посредством Это дает

Аналогичное соотношение получается и для если заменить на Приближенное выражение (417) пригодно для вычислений вручную. На практике используют (415) и вычисляют рабочую характеристику приемника численными методами. На рис. 2.35, а приведена рабочая характеристика приемника для нескольких репрезентативных значений

Особенно интересными являются две кривые, соответствующие В обоих случаях произведение Мы видим, что, когда требуемая получается выше, если имеющаяся в нашем распоряжении «сила сигнала» подразделяется на большее число компонентов. Из этого следует, что для каждого значения и произведения должно существовать оптимальное В гл. 4 мы убедимся, что эта задача соответствует задаче оптимального разнесения в системах связи, а также задаче оптимальной энергии в импульсе в радиолокации. На рис. 2.35, б, в представлена как функция для и соответственно, а также для различных значений произведения Физический смысл указанных результатов будет обсужден в гл. 4.

Случай 1Б. Независимые компоненты сигнала: неодинаковые дисперсии. В этом случае компоненты сигнала являются независимыми величинами с дисперсиями

(кликните для просмотра скана)

и

Характеристическая функция получается просто, однако вычисление вызывает затруднение. В § 2.7 мы выведем приближенные выражения для качества критерия, которые приводят к более простым формулам.

Случай 1В. Произвольные компоненты сигнала. Этот случай, несомненно, является общим. Мы вновь обратились к нему просто для того, чтобы указать, что его всегда можно свести к случаю 1Б посредством ортогонального преобразования (см. рассуждения на стр. 110—114).

Случай 2. Симметричные гипотезы, некоррелированный шум. Случай 1 был несимметричным, поскольку имелась гипотеза о наличии одного шума. В данном случае имеем следующие гипотезы:

где независимые величины с дисперсиями имеют ковариационную матрицу Поэтому

и

где мы подразделили -матрицы на -субматрицы. Следовательно,

Используя (397), имеем

где согласно (397) матрица равна

Если разбить на две -матрицы:

то

Частные случаи, аналогичные вывести не представляет труда.

Случай 2А. Некоррелированные, одинаково распределенные компоненты сигнала. Пусть

тогда

Если гипотезы равновероятны, а критерием является минимум то порог при испытании по критерию отношения правдоподобия равен единице (см. 69). Из (388) и (390) видно, что это получается при Этот случай встречается довольно часто и приводит к простому вычислению ошибки. Критерий в этом случае приобретает вид

Вероятность ошибки при условии, что истинна гипотеза Ни есть вероятность того, что Так как критерий симметричен по отношению к обеим гипотезам то

Таким образом,

Подставляя (406) и (407) в (432б), вспоминая, что четно, и оценивая внутренний интеграл, получим

Полагая

и интегрируя, сведем (432в) к виду

Этот результат принадлежит Пирсу [22]. Это выражение имеет замкнутую форму, но пользоваться им утомительно. Отложим построение графика выражения (434) до § 2.7, где для сравнения будет выведено приближенное соотношение.

Случай 2Б. Некоррелированные компоненты сигнала: неодинаковые дисперсии. В этом случае

Легко показать, что

Как и в случае 1Б, вычисление качества встречает затруднение. Приближенные выражения, полученные в § 2.7, в этом случае также оказываются полезными.