3.4.3, Нестационарные процессы

Интересующий нас процесс является простым винеровским процессом. Он был разработан в качестве модели броуновского движения и подробно рассмотрен в [20, 21]. Типичная выборочная функция этого процесса представлена на рис. 3.13. Данный процесс определен для 0 и ему присущи следующие свойства:

Приращения функции являются независимыми, т. е. если то статистически независимы. В следующем примере мы решим уравнение (46) для винеровского процесса.

Рис. 3.13. Выборочная функция винеровского процесса.

Пример. Винеровский процесс. Используя свойства винеровского процесса, можно показать, что

В этом случае (46) имеет вид

Подставляя (112) в (113), получим

Поступая, как и в § 3.4.1, в результате дифференцирования (114) получим

Дифференцируя повторно, имеем

или, при

Существует три возможных области изменения X:

Можно легко убедиться (ср. задачу 3.4.3), что 1) и 2) не дают решений, удовлетворяющих интегральному уравнению. Для поступая точно так же, как и в предыдущем параграфе, находим

и

И в этом случае собственные функции являются синусоидами.

Винеровский процесс важен по ряду причин.

1. Широкий класс процессов может быть преобразован в винеровский процесс.

2. Широкий класс процессов можно генерировать, пропуская винеровский процесс через линейную или нелинейную систему. Подробнее мы рассмотрим это позднее.