6.2.1. Решение уравнения Винера-Хопфа

Наше решение уравнения Винера-Хопфа аналогично методу Боде и Шеннона [3]. Хотя по необходимому объему выкладок этот метод не отличается от решения Винера, данная процедура носит более интуитивный характер. Ограничимся рассмотрением случая, когда преобразование Фурье входной корреляционной функции является рациональной функцией. Практически это условие не является ограничением, так как большую часть интересующих нас спектров можно аппроксимировать рациональными функциями. Общий случай рассмотрен Винером [1], однако он не позволяет выработать практический метод решения.

Прежде всего заметим, что если было бы белым шумом, то решение (58) оказалось бы тривиальным. Если

то (58) обращается в

и

(значение при следует принятого нами условия непрерывности.)

Вряд ли во многих интересующих нас задачах (59) будет удовлетворяться. Если бы, однако, мы могли осуществить над некоторую предварительную операцию для преобразования в белый процесс, как показано на рис. 6.4, то последующая задача фильтрации «выбеленного» процесса была бы тривиальной. Идея операции выбеливания знакома нам из § 4.3. В рассмотренном там случае сигнал был детерминированным и мы выбеливали только помеху.

Рис. 6.4. Выбеливающий фильтр.

В данном же случае мы выбеливаем всю смесь, поступающую на вход. В § 4.3 было доказано, что любая обратимая операция не может ухудшить параметров всей системы. Теперь мы также хотим, чтобы все устройство обработки было реализуемым линейным фильтром. Ввиду этого укажем следующее свойство.

Свойство выбеливания. Для всех рациональных спектров существует реализуемый линейный фильтр с постоянными во времени параметрами, выход которого является белым процессом, когда на входе действует и обратным которому является также реализуемый линейный фильтр.

Если импульсную характеристику выбеливающего фильтра обозначить через , а передаточную функцию — через то данное свойство утверждает, что:

или

Если обозначить импульсную характеристику обратного фильтра через то

или

и должна быть импульсной характеристикой реализуемого фильтра.

Выведем это свойство путем демонстрации конструктивного метода на простом примере с последующим распространением его на произвольные рациональные спектры.

Пример 1. Пусть

Мы хотим выбрать передаточную функцию выбеливающего фильтра так, чтобы он был реализуемым, а спектр его выходного процесса удовлетворял уравнению

Для выполнения этого разделим на две части

Первый сомножитель обозначен через ввиду того, что он равен нулю для отрицательного времени. Второй сомножитель комплексно сопряжен с первым. Очевидно, если положить

то (63) будет удовлетворяться.

Видно, что выбеливающий фильтр содержит включенные параллельно дифференцирующее и усилительное звенья. Так как

то очевидно, что обратным функционалом является реализуемый линейный фильтр и, следовательно, правомерная обратимая операция. Таким образом, можно оперировать над любым из двух способов, иллюстрируемых на рис. 6.5, и, как было доказано в § 4.3, если выбрать оптимальным разом, то выходы обеих систем будут одинаковы и равны

В данном конкретном случае выфор был очевиден. Рассмотрим теперь более сложный случай.

Пример 2. Пусть

Необходимо выбрать так, чтобы

и оба фильтра что эквивалентно, были реализуемыми. При обсуждении реализуемости удобно пользоваться комплексной -плоскостью. Путем замены на где рассматриваемые функции можно распространить на всю комплексную плоскость. Чтобы фильтр был реализуемым, он не должен содержать никаких полюсов в правой половине -плоскости. Поэтому мы должны приписать к ему сомножитель Аналогично, чтобы был реализуемым, припишем ему сомножитель

Рис. 6,5. Оптимальный фильтр: а — метод № 1; б - метод № 2.

Выбор постоянной произволен, так как она связана только с регулировкой уровня белого шума. Ради простоты будем полагать, что спектр процесса имеет единичный уровень, и распределим постоянную величину равномерно. Тогда

Для исследования общего случая рассмотрим диаграмму полюсов и нулей типичного спектра, изображенного на рис. 6.6. Считая данный спектр типичным, приходим к выводу, что процедура носит очевидный характер. Разложим в ряд и припишем все полюсы и нули левой полуплоскости (и половину каждой пары нулей, расположенных на оси) функции Остальные полюсы и нули будут точно соответствовать комплексно-сопряженной величине Тот факт, что каждый рациональный спектр может быть разделен таким образом, следует непосредственно из того, что является действительной четной и неотрицательной функцией, обратное преобразование которой есть корреляционная функция. Это и предопределяет различные случаи поведения диаграммы полюсов и нулей, показанных на рис. 6.7, а — 6.7, в.

1. Симметрия относительно оси о. Иначе не была бы действительной величиной.

2. Симметрия относительно оси . В противном случае не была бы к тому же и четной.

(кликните для просмотра скана)

3. Любые нули на оси встречаются только парами. Иначе функция была бы отрицательной при некотором значении .

4. На оси полюсов нет. Это соответствует сомножителю обратное преобразование которого не является корреляционной функцией стационарного процесса.

Доказательства этих свойств представляют тривиальные упражнения (см. задачу 6.2.1).

Рис. 6.8. Оптимальный фильтр.

Мы доказали, что всегда можно отыскать реализуемый обратимый выбеливающий (декоррелирующий) фильтр. Задача обработки сводится теперь к задаче, иллюстрируемой рис. 6.8. Необходимо построить фильтр с такой передаточной функцией чтобы в результате воздействия на получалась оценка по минимуму среднеквадратической ошибки. Очевидно, что должна удовлетворять (58), если заменить на

Из требования, чтобы процесс был белым процессом с единичной спектральной плотностью, следует, что

Таким образом, если бы мы знали то наше решение былобы закончено. Ввиду того, что получается из посредством линейной операции, отыскивается без особого труда:

Произведя преобразование, получим

Мы просто нашли обратное преобразование функцию и оставили часть, соответствующую Типичный вид функции показан на рис. 6.9, а. Связанная с величина иллюстрируется рис. 6.9, б.

Обозначим преобразование для через

Аналогично,

Очевидно,

и можно записать

Тогда весь оптимальный фильтр является просто последовательным соединением выбеливающего фильтра и фильтра с передаточной функцией

Мы видим, что посредством ряда стандартных, простых по своему существу операций можно синтезировать требуемый фильтр. Дадим краткую характеристику всех этапов этой процедуры.

Рис. 6.9. Типичные функции: а — типичная ковариационная функция; соответствующая ей функция

1. Разлагаем входной спектр на две части. Один из сомножителей имеет все полюсы и нули в левой части -плоскости. Другой сомножитель является зеркальным изображением первого относительно оси

2. Взаимный спектр можно выразить через исходный взаимный спектр, поделенный на Это соответствует

некоторой функции, отличной от нуля как для положительного, так и для отрицательного времени. Реализуемая часть этой функции есть а ее преобразование

3. Передаточная функция оптимального фильтра есть просто произведение этих двух передаточных функций. Далее мы увидим, что составная передаточная функция соответствует реализуемой системе. Заметим, что фактически мы построили оптимальный линейный фильтр как единую систему. Разбиение на две части было произведено исключительно из методических соображений.

Прежде чем перейти к обсуждению свойств и приложений найденного решения, целесообразно рассмотреть простой пример с тем, чтобы пояснить смысл (78).

Пример 3. Допустим, что

где некоррелированные стационарные процессы с нулевыми средними и

[мы видим, что имеет единичную мощность, так что передаваемая мощность]

Полезный сигнал имеет вид

где а — постоянная величина.

Взяв получаем задачу на предсказание; при имеем задачу обычной фильтрации, а при задачу фильтрации с задержкой.

Решение данной задачи сводится к простому применению процедуры, изложенной в предыдущем параграфе:

Удобно ввести величину

Физический смысл этой величины мы поясним позднее, сейчас же ее можно рассматривать как некий полезный параметр. Прежде всего разложим спектр

так, что

Теперь

Произведя преобразование, получим

и

Для отыскания реализуемой части произведем обратное преобразование:

Обратное преобразование может быть весьма просто найдено либо методом вычетов, либо разложением на неприводимые многочлены с применением теоремы сдвига. В результате получим

Эта функция показана на рис. 6.10.

Теперь зависит от величины а. Иначе говоря, величина в облети является функцией а. Рассмотрим три типа операций.

Рис. 6.10. Взаимно ковариационная функция.

Случай 1. Фильтрация с нулевой задержкой. Полагая в имеем

или

Тогда

Полученный нами результат интуитивно логичен. Амплитудно-частотная характеристика фильтра показана на рис. 6.11. Фильтр представляет, собой простой фильтр нижних частот, полоса пропускания которого зависит от

Придадим теперь параметру А некоторый физический смысл. Ширина спектра процесса сообщения прямо пропорциональна как показано на рис. 6.12, а, и равна Гц. (на уровне Другой распространенной мерой ширины полосы служит эффективная полоса, являющаяся шириной полосы прямоугольного спектра с плотностью и с такой же полной мощностью, что и у действительного сообщения, как показано на рис. 6.12, б. Физически означает отношение снгнал/шум в эффективной полосе сообщения.

Рис. 6.11. Нормированная частотная характеристика оптимального фильтра.

Это отношение является наиболее естественной мерой в большей части нашей работы. Связь между А и отношением сигнатл/шум в полосе сообщения на уровне зависит от конкретного спектра. Для данного частного случая

Рис. 6.12. Эквивалентный прямоугольный спектр.

Для фиксированного ширина полосы оптимального фильтра возрастает с увеличением А — отношения сигнал/шум. Таким образом, при амплитуда отклика фильтра стремится к единице на всех частотах, и фильтр пропускает компоненты сообщения без искажений. Поскольку в данном случае шум не существен, это представляется интуитивно логичным. С другой стороны, при точка характеристики фильтра стремится к точке Коэффициент передачи, однако, стремится к нулю. Как и ранее, это представляется интуитивно логичным: имеется столь много шума, что согласно критерию среднеквадратической ошибки наилучшее значение выходной величины фильтра (среднее значение сообщения) будет равно нулю.

Случай 2. а < 0. Фильтрация с задержкой. Здесь имеет импульсный характер, что показано на рис. 6.13. Произведя преобразование, получим

и

Последнее можно переписать в виде

Заметим, что выражение вне скобок есть просто

Видно, что когда а — большое отрицательное число, второй член в скобках приближенно равен нулю. Таким образом, стремится к (97). Это — просто отношение взаимного спектра к полному входному спектру, с задержкой, чтобы сделать фильтр реализуемым.

Рис. 6.13. Фильтрация с задержкой.

Заметим, что импульсную характеристику рис. 6.13 обычными методами синтеза цепей реализовать затруднительно.

Случай 3. а > 0. Фильтрация с предсказанием. Здесь

Сравнивая (98) и (92), видим, что оптимальный фильтр для предсказания есть просто оптимальный фильтр для оценивания умноженный на коэффициент передачи как показано на рис. 6.14. Это объясняется тем, что является марковским процессом первого порядка в широком смысле, а шум — белым. Аналогичный результат мы получим в §. 6.3 для процессов более общего вида.

Прежде чем подвести итоги нашего обсуждения, рассмотрим подробнее один момент, встретившийся нам в случае 1 приведенного примера. Один из этапов решения заключался в отыскании реализуемой части функции. Часто нет необходимости искать временную функцию, а затем производить повторное преобразование. В частности, если есть отношение двух полиномов по степеням то можно записать а вторая сумма содержит все члены, соответствующие полюсам в правой половине -плоскости.

где некоторый полином. Первая сумма содержит все члены, соответствующие полюсам в левой половине -плоскости (включая ось

Рис. 6.14. Фильтрация с предсказанием.

В таком разложенном виде реализуемая часть состоит из первых двух членов. Поэтому

Использование (996) позволяет сократить необходимые выкладки.

В данном параграфе был разработан алгоритм решения уравнения Винера-Хопфа и приведен простой пример, иллюстрирующий применение предлагаемого метода. В следующем параграфе мы исследуем получающуюся при этом среднеквадратическую ошибку.