4.2.3. Нелинейные оценки

Система, изображенная на рис. 4.7, иллюстрирует типичную задачу нелинейной оценки. Принятый сигнал можно записать в виде

Из результатов классической теории известно, что в общем случае достаточной статистики не существует. Как и ранее, можно построить функцию правдоподобия. Метод решения данной задачи заключается в использовании аппроксимации при помощи ряда с К коэффициентами. Поступая так же, как на стр. 297—298, и используя очевидные обозначения, получим

где

Если теперь положить то будет определено неточно. Напомним из гл. 2, что функцию правдоподобия можно делить на любую величину, которая не зависит от и при этом функция правдоподобия сохраняется. На стр. 297—298 мы избежали проблемы сходимости путем деления на

прежде чем положить Поскольку эта функция от А не зависит, то здесь деление на нее будет вполне законным. Введем функцию

Подставляя в эту формулу предыдущие два выражения, приводя подобные члены, устремляя и логарифмируя, получим

Для отыскания необходимо найти абсолютный максимум этой функции. Чтобы определить прибавим к и найдем абсолютный максимум. Основная операция над принятым колебанием сводится к формированию первого члена (101) как функции величины Физическое устройство, которое используется для ее осуществления, будет зависеть от вида функции Ниже мы рассмотрим некоторые конкретные случаи и найдем действительную структуру этого устройства.

Прежде чем сделать это, выведем выражение для общего случая, которое потребуется нам в последующем. Заметим, что если максимум является внутренним, а функция дифференцируема в точке максимума, то необходимое, но недостаточное условие получается путем однократного дифференцирования (101):

(в предположении, что функция дифференцируема по А). Для необходимое условие получается путем приравнивания нулю правой части (102). Для атар к правой части (102) мы прибавляем и приравниваем сумму нулю. В частном случае, когда гауссова получаем

В линейном случае (103) сводится к (95) и дает единственное решение. В нелинейном случае может существовать ряд решений и, чтобы гарантировать абсолютный максимум, необходимо исследовать сумму (101) и Очевидно, точно так же, как и в гл. 2, выражение (102) позволяет найти границу дисперсии любой несмещенной оценки неслучайной величины, а добавление приводит к граничному выражению для среднего квадрата ошибки при оценке случайной величины. Для неслучайной величины дифференцируем (102) и берем математическое ожидание

где предполагается, что соответствующие производные существуют. Заметим, что в первом члене

Во втором члене случайных величин нет. Поэтому математическое ожидание равно самому интегралу.

Подставляя в (2.179), получим

для любой несмещенной оценки а. Знак равенства в (106) справедлив тогда и только тогда, когда

для всех Сравнивая (102) и (107), убеждаемся, что это соблюдается только для линейной модуляции. Следовательно, есть оценка с минимальной дисперсией.

Аналогично для случайных величин

где означает математическое ожидание по случайной величине а. Вводя

имеем

Знак равенства в (110) имеет место тогда и только тогда, когда (см. 2.226)

Как и в гл. 2 (стр. 84), для выполнения равенства (111) необходимо и достаточно, чтобы была гауссовой плотностью вероятности. Это требует линейной системы передачи сигналов и гауссовой априорной плотности.

В чем ценность этой границы, если она удовлетворяется только для линейных методов модуляции?

Как и в классическом случае, она имеет два главных назначения.

1. Она всегда обеспечивает нижнюю границу.

2. Во многих случаях фактическая дисперсия (или средний квадрат ошибки) в случае нелинейных методов модуляции при определенных условиях будет приближаться к этой границе. Эти случаи аналогичны асимптотически эффективным оценкам в классической задаче. Впоследствии мы убедимся, что они соответствуют большим значениям

Для иллюстрации некоторых понятий в нелинейном случае рассмотрим два простых примера.

Рис. 4.29. а — форма импульса; б - допустимые пределы изменения параметра.

Пример 1. Пусть импульс, показанный на рис. 4.29, а. Параметр а — время прихода импульса. Нам необходимо найти оценку а по максимуму апостериорной вероятности. Область значений которые может принимать параметр а (рис. 4.29, б), нам известна. Внутри этой области плотность вероятности равномерна. Ради простоты будем считать интервал наблюдения достаточно большим, чтобы он полностью содержал данный импульс. Из (101) известно, что операция над принятым колебанием сводится к отысканию Здесь

В данном частном случае второй член не зависит от А, так как весь импульс всегда размещается внутри заданного интервала. Первый член соответствует операции свертки. Выход линейного фильтра с импульсной характеристикой и входом на интервале равен:

Очевидно, что если положить

то выходная величина как функция времени в области будет идентична функции правдоподобия от А. Мы просто выбираем максимальное

значение выходной величины фильтра как функции времени. Момент времени, когда имеет место максимальное значение, и есть атар. Рассматриваемый фильтр есть согласованный фильтр, с которым мы уже встречались в задаче обнаружения.

На рис. 4.30 представлена структура приемника. Выход, соответствующий сигнальной компоненте, развернут вдоль линии Типичные результирующие выходы при трех уровнях шума показаны на рисунках Из рис. видно, что максимум велик по сравнению с уровнем шумового фона. Фактический максимум находится вблизи истинного, и можно полагать, что ошибку можно точно рассчитать, иснользуя выражение (110). В случае уровень шума больше и начинают появляться большие дополнительные пики, не имеющие отношения к истинному значению А.

Рис. 4.30. Выходные величины приемника (оценивание времени поступления сигнала): а - сигнальная компонента; б - низкий уровень шумов; в - средний уровень шумов; высокий уровень шумов.

Наконец, на рисунке шум достигает такого уровня, при котором максимум уже не связан с истинным значением. Таким образом, мы подошли к двум вопросам:

1. При каких условиях нижняя граница, определяемая выражением (110), позволяет точно рассчитать ошибку?

2. Как можно рассчитать достоверность обнаружения в тех случаях, когда нельзя использовать

Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим второй пример с тем, чтобы проверить, не возникнут ли аналогичные вопросы.

Пример 2. Другим распространенным примером нелинейного метода модуляции может служить дискретная частотная модуляция, называемая также частотной манипуляцией (ЧМ). Через каждые секунд источник выдает новое значение параметра а. Передаваемый сигнал есть

Здесь известная несущая частота, известная постоянная, энергия передаваемого сигнала (энергия принимаемого сигнала). Предполагается, что равномерно распределена на интервале .

Для отыскания построим функцию, соответствующую первому члену (101):

[Второй член (101) и априорная плотность вероятности — постоянные величины и их можно не учитывать].

Одним из возможных способов построения могла бы быть регистрация (запись) с последующим перемножением и интегрированием, указываемыми в (116) для последовательных значений А во всей области значений параметра.

Рис. 4.31. Структура приемника (оценивание частоты сигнала).

Но этот способ, очевидно, связан с большими затратами времени. Другой способ заключаемся в разбиении области изменения на приращения с шагом выполнении операции обработки, показанной на рис. 4.31 для дискретных значений А:

Здесь означает наибольшее целое число, не превосходящее аргумента. Результатом такой предварительной обработки является чисел. Мы выбираем наибольшее из них и считаем, что истинное значение А находится в этой области.

Для получения окончательной оценки проведем локальную максимизацию (максимум находится внутри интервала), используя условие

Один из возможных способов такой максимизации иллюстрируется блок-схемой рис. 4 32.

Рис. 4.32. Устройство локальной оценки.

Мы ожидаем, что если при предварительной обработке интервал выбран правильно, то окончательная точность будет аппроксимироваться граничным выражением (108). Эту границу можно оценить довольно легко. Частная производная сигнала равна

и

где

Далее нормированный средний квадрат ошибки любой оценки ограничен величиной

Видно, что независимо от того, насколько мало средний квадрат ошибки можно сделать сколь угодно малым путем увеличения . К сожалению, этот метод не учитывает существенную часть проблемы. Как влияет на вероятность ошибки первоначального определения интервала величина

Сделав ряд упрощающих допущений, можно получить приближенное выражение для указанной вероятности. Обозначим истинное значение А через

А а (этот подстрочный индекс необходим потому, что А — аргумент функции правдоподобия). График величины

для сигнала (115) в виде функции приведен на рис. 4.33 (членом удвоенной частоты пренебрегаем). Видно, что сигнальная компонента проходит через нуль каждые единиц. Из этого следует, что логично выбрать величину равной

Для вычисления вероятности выбора неправильного интервала используем аппроксимацию, позволяющую заменить все А в первом интервале на и т.д.

Обозначим вероятность выбора неправильного интервала через При такой аппроксимации задача сводится к определению того, какой именно из ортогональных сигналов равных энергий присутствует. При больших мы пренебрегаем остатком на конце интервала и полагаем

Рис. 4.33. Зависимость компоненты сигнала от

Такая задача уже была решена [см. (64)]. Так как нас интересует случай большого то можно использовать приближенное выражение (65):

По мере увеличения вероятность того, что будет выбран неправильный интервал, возрастает. Вывод, который можно сделать из этого результата, имеет фундаментальное значение в теории нелинейных оценок.

Для фиксированных можно увеличить настолько, что локальная ошибка будет сколь угодно малой, если приемником был выбран правильный интервал. Однако при увеличении вероятность того, что выбран правильный интервал, стремится к нулю. Таким образом, при заданном необходимо некоторое минимальное значение для обеспечения того, чтобы вероятность пребывания в ошибочном интервале была достаточно мала.

Выражение (123) предполагает следующую процедуру расчета. Считаем, что приемлема некоторая вероятность ошибки (скажем, Чтобы минимизировать средний квадрат ошибки, ограничиваемый этим значением, выберем таким, что (123) удовлетворяется со знаком равенства. Подставляя в левую часть (123), решая относительно и подставляя результат в (121), получим

Функция, обратная зависимости нормированного среднего квадрата ошибки от для типичных значений изображена на рис. 4 34. По причинам, которые

вскоре станут очевидными, ограничение, налагаемое выражением (123), называется пороговым ограничением.

Результат (123) указывает на одно последствие увеличения Второе последствие нетрудно усмотреть непосредственно из (115). Каждое значение А сдвигает частоту передаваемого сигнала с до Поэтому мы должны располагать каналом с полосой пропускания достаточной, чтобы учесть максимально возможный уход частоты. Ширина спектра импульса приближенно равна Максимальный сдвиг частоты составляет Следовательно, требуемая ширина полосы пропускания при средней частоте приближенно равна

При больших можно пренебрегать и пользоваться приближенным выражением

Во многих представляющих интерес системах мы располагаем вполне определенной полосой пропускания. (Указанное ограничение полосы может вызываться либо административной регламентацией, либо физической природой рассматриваемого канала.)

Рис. 4.34. Величина, обратная среднему квадрату ошибки при ограничениях по порогу и ширине полосы.

Если считать достаточно большим для обеспечения приемлемой вероятности ошибки то (1256) характеризует ограничение системы. Мы просто увеличиваем до тех пор, пока не будет занята имеющаяся полоса. Для отыскания среднего квадрата ошибки, используя указанную процедуру расчета, подставим выражение для (121) и получим

Видно, что величинами, определяющими средний квадрат ошибки, являются: отношение сигнал/шум и произведение ширины спектра на длительность передаваемого импульса. Величина, обратная нормированному среднему квадрату ошибки, представлена графически на рис. 4.34 для типичных значений Два семейства ограничительных линий обеспечивают нас законченной процедурой построения ЧИМ системы. При малых значениях доминирует ограничение за счет порога. По мере возрастания поведение наименьшего среднего квадрата ошибки определяется линией фиксированной до тех пор, пока не достигается значения, когда ограничивающим фактором становится располагаемая полоса частот. При дальнейшем возрастании наименьший средний квадрат ошибки будет следовать лйнии фиксированного

Такой подход, когда два вида ошибок рассматриваются отдельно, является полезным и способствует более ясному пониманию проблемы. Для сравнения результатов, полученных для различных систем, часто бывает удобно выражать их в виде одного числа — полного среднего квадрата ошибки.

Для среднего квадрата ошибки можно написать

Приближенное выражение для получено путем объединения всех частных областей изменения параметра в единое значение При такой аппроксимации на других выходах коррелятора рис. 4.31 не будет компонентов сигнала.

Таким образом, если делается ошибка в определении интервала, то она с равной вероятностью происходит в каком угодно ошибочном интервале. Следовательно, результирующая оценка а будет некоррелированной с а.

Сделанное выше приближение приводит к тому, что последний член в (128) оказывается равным нулю. Каждый из первых двух членов равен Поэтому

Рис. 4.35. Величина, обратная среднему квадрату ошибки.

Если предположить, что фиксирована, то тогда, используя в (127) выражения (124) и (129), получим

В этом случае по мере изменения индекс модуляции необходимо изменять При фиксированном используя (121) и (123), получим

Результат (131) показан графически на рис. 4.35. Видно, что в поведении среднего квадрата ошибки четко проявляется явление порога. Величина, обратная нормированному среднему квадрату ошибки для системы также показана на

рис. 4.35 (на основе (96)). Величину выигрыша можно получить путем деления (121) на (96)

Таким образом, выигрыш при использовании системы ЧИМ по сравнению с системой АИМ пропорционален квадрату Следует еще раз подчеркнуть, что этот результат справедлив лишь в предположении, что лежит выше порога системы. Если уровень шума будет возрастать, то помехоустойчивость системы ЧИМ может резко ухудшиться.

Наш подход в данном конкретном примере вполне достоверен. Мы видим, однако, что он основывается на двухэтапной процедуре оценки. При дискретной частотной модуляции выбор этой процедуры был вполне естественным, поскольку она была целесообразной и с точки зрения практической реализации системы. В первом примере в подобной двухэтапной процедуре оценки необходимости не было. Тем не менее, чтобы получить параллельный ряд результатов для примера 1, можно привести аналогичный двухэтапный анализ и прийти к сходным выражениям. Экспериментальные исследования систем обоих типов свидетельствуют о том, что аналитические результаты точно характеризуют помехоустойчивость систем. Вместе с тем было бы желательно пронести болсс строгий анализ.

В примере 2 мы кратко обсудим другой подход, когда непосредственно ограничен средний квадрат ошибки. Из (115) видно, что является аналитической функцией параметра А. Поэтому существуют и могут быть выражены в простой форме все ее производные:

Из этого следует, что обобщение границы Баттачария, развитое нами в § 2.9, позволяет получить сколь угодно точные оценки ошибок.

По своей идее это обобщение получается довольно просто (Ван-Трис [24]). При ответ остается все еще простым. Однако при

3 необходимое обращение матрицы оказывается весьма громоздким и проще провести решение численным методом. Подробные вычисления приведены в [29]. В этом частном случае ряд сходится недостаточно быстро, чтобы можно было получить хорошее приближение к действительной ошибке в области больших уровней помех.

Необходимо сделать одно последнее замечание. Существует несколько представляющих интерес случаев, когда сигнал не является дифференцируемым по параметру. Простым примером сигнала такого типа может служить ситуация, когда в радиолокационной системе излучаемый сигнал приближенно заменяется прямоугольным

импульсом и требуется оценить время появления отраженного импульса. При малом уровне шумов формулы для данных случаем можно вывести довольно легко (см. например, [25], [13], [26], [27]). Для произвольного уровня шума можно использовать метод, примененный в примере 2, или граничное выражение Баранкина (см., например, [28]), которые не требуют дифференцируемости.