Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.6. Бесконечный интервал времени. Спектральное представление3.6.1. Спектральное разложениеРассмотрим теперь поведение ряда, если Представление тригонометрическими рядами. Из рис. 3.19 видно, что при увеличении
Рис. 3.21. Кумулятивная функция напряжения, периодический процесс. Функция
Аналогично,
Мы видим, что вследствие нашего допущения о нулевом среднем,
и
Из (183) видно, что можно записать
Из самого способа определения ясно, что
Кумулятивную среднюю мощность можно обозначить через функцию
Рис. 3.22. Кумулятивный спектр мощности, периодический процесс. Ковариационную функцию можно выразить через
Представление комплексными экспоненциальными функциями. В комплексном виде можно записать
и
Среднеквадратическое значение
Кумулятивная средняя мощность равна
и
Косинусно-синусное представление. Вернемся теперь к косинусно-синусному представлению и исследуем его поведение при
Пусть
и
Считая
или
Аналогично
Сумма, представляющая
Мы записали эти интегралы в виде интегралов Стилтьеса. Они определяются как предел суммы (200) при 1. Приращения на неперекрывающихся интервалах являются некоррелированными, т. е.
и
если интервалы
Рис. 3.23. Типичный интегральный спектр напряжения. 2. Квадратурные компоненты некоррелированы даже на одном и том же интервале, а именно,
3. Среднеквадратическое значение приращения функции имеет простое физическое истолковани
Величина, стоящая в правой части (216), представляет среднюю мощность на частотном интервале 4. Во многих представляющих интерес случаях функция
(Коэффициент 2 под интегралом появляется ввиду того, что
5. Если Функции Возникает вполне логичный вопрос: почему мы используем Трудность использования обычного преобразования Фурье можно показать. Положим
и исследуем поведение интеграла при
и
Легко показать, что правая часть (221) становится сколь угодна большой при
Рис. 3.24. Комплексный фильтр. Представление комплексными экспоненциальными функциями. Результат, аналогичный (210), можно получить и для комплексного представления
и
Выражение (222) имеет простую физическую интерпретацию. Рассмотрим комплексный полосовой фильтр и его передаточную функцию, изображенную на рис. 3.24. Импульсная характеристика является комплексной
Выходная величина при
Таким образом, приращения функций в процессе
Рис. 3.25. Интегральный спектр мощности и энергетический спектр. Интересующие нас свойства комплексного представления полностью аналогичны свойствам (213)-(218) и перечислены ниже:
Если
Типичный случай показан на рис. 3.25.
Если
Другими словами, приращения функций некоррелированы. Указанные свойства можно получить в виде предельных соотношений из экспоненциальных рядов или непосредственно из (225), используя соотношения вторых моментов для линейной системы. Сделаем несколько выводов, которые будут полезны в дальнейшем. 1. Величина Рассмотрим, например, линейную систему, изображенную на рис. 3.26. Имеем
или
Таким образом,
и
2. Если процесс является нормальным, то случайные величины
Рис. 3.26. Линейный фильтр. Мы видим, что спектральное разложение процесса дает такой же результат для стационарных процессов на бесконечном интервале, что и разложение Карунена-Лоэва на конечном интервале. В результате спектрального разложения мы получаем функцию Для иллюстрации практического применения сделанных выводов рассмотрим простую задачу оценки.
|
1 |
Оглавление
|