3.6. Бесконечный интервал времени. Спектральное представление

3.6.1. Спектральное разложение

Рассмотрим теперь поведение ряда, если период процесса устремить к бесконечности.

Представление тригонометрическими рядами. Из рис. 3.19 видно, что при увеличении линии спектра сближаются. Учитывая это, более удобным графиком является кумулятивный график уровня, показанный на рис. 3.21 для типичной выборочной функции.

Рис. 3.21. Кумулятивная функция напряжения, периодический процесс.

Функция есть сумма коэффициентов при косинусах от 1 до

Аналогично,

Мы видим, что вследствие нашего допущения о нулевом среднем,

и

Из (183) видно, что можно записать

Из самого способа определения ясно, что

Кумулятивную среднюю мощность можно обозначить через функцию где

Рис. 3.22. Кумулятивный спектр мощности, периодический процесс.

Ковариационную функцию можно выразить через используя (186) и (202):

Представление комплексными экспоненциальными функциями. В комплексном виде можно записать

и

Среднеквадратическое значение коэффициента равно

Кумулятивная средняя мощность равна

и

Косинусно-синусное представление. Вернемся теперь к косинусно-синусному представлению и исследуем его поведение при Прежде всего изменим на обратный порядок суммирования и интегрирования в (199). Это дает

Пусть

и

Считая постоянной и полагая получим

или

Аналогично

Сумма, представляющая также превращается, в интеграл

Мы записали эти интегралы в виде интегралов Стилтьеса. Они определяются как предел суммы (200) при Следует отметить, что мы никогда не будем интересоваться вычислением интеграла Стилтьеса. Типичные графики функций показаны на рис. 3.23. Это процессы с нулевыми средними, обладающие следующими полезными свойствами.

1. Приращения на неперекрывающихся интервалах являются некоррелированными, т. е.

и

если интервалы являются неперекрывающимися. Этот результат полностью аналогичен некоррелированности коэффициентов при разложении в ряд.

Рис. 3.23. Типичный интегральный спектр напряжения.

2. Квадратурные компоненты некоррелированы даже на одном и том же интервале, а именно,

3. Среднеквадратическое значение приращения функции имеет простое физическое истолковани

Величина, стоящая в правой части (216), представляет среднюю мощность на частотном интервале

4. Во многих представляющих интерес случаях функция является дифференцируемой:

(Коэффициент 2 под интегралом появляется ввиду того, что двусторонний спектр.)

5. Если содержит периодическую компоненту с частотой то будет иметь разрыв первого рода в точке будет содержать импульс на частоте

Функции называются интегральными преобразованиями Фурье функции Функция является интегральным спектром функции

Возникает вполне логичный вопрос: почему мы используем вместо обычного преобразования Фурье функции

Трудность использования обычного преобразования Фурье можно показать. Положим

и исследуем поведение интеграла при Допустим, что

и

Легко показать, что правая часть (221) становится сколь угодна большой при Таким образом, для каждой о» обычное преобразование Фурье есть случайная величина с неограниченной дисперсией.

Рис. 3.24. Комплексный фильтр.

Представление комплексными экспоненциальными функциями. Результат, аналогичный (210), можно получить и для комплексного представления

и

Выражение (222) имеет простую физическую интерпретацию. Рассмотрим комплексный полосовой фильтр и его передаточную функцию, изображенную на рис. 3.24. Импульсная характеристика является комплексной

Выходная величина при равна

Таким образом, приращения функций в процессе соответствуют выходу комплексного линейного фильтра, когда на его входе присутствует

Рис. 3.25. Интегральный спектр мощности и энергетический спектр.

Интересующие нас свойства комплексного представления полностью аналогичны свойствам (213)-(218) и перечислены ниже:

Если дифференцируема, то

Типичный случай показан на рис. 3.25.

Если

Другими словами, приращения функций некоррелированы. Указанные свойства можно получить в виде предельных соотношений из экспоненциальных рядов или непосредственно из (225), используя соотношения вторых моментов для линейной системы.

Сделаем несколько выводов, которые будут полезны в дальнейшем.

1. Величина играет точно такую же роль, как и преобразование Фурье для сигнала с конечной энергией.

Рассмотрим, например, линейную систему, изображенную на рис. 3.26. Имеем

или

Таким образом,

и

2. Если процесс является нормальным, то случайные величины статистически независимы при условии, что указанные интервалы являются неперекрывающимися.

Рис. 3.26. Линейный фильтр.

Мы видим, что спектральное разложение процесса дает такой же результат для стационарных процессов на бесконечном интервале, что и разложение Карунена-Лоэва на конечном интервале. В результате спектрального разложения мы получаем функцию связанную со всеми выборочными функциями. Кроме этого, можно разбить ось на произвольные неперекрывающиеся частотные интервалы так, что результирующие случайные приращения на этих интервалах будут некоррелированы (в случае нормального процесса и статистически независимы).

Для иллюстрации практического применения сделанных выводов рассмотрим простую задачу оценки.