Решение некоторых задач к главе 3

Решение задачи 3.3.1

1. Неравенство Буняковского-Шварца имеет вид

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

Используя это неравенство применительно к числителю данного выражения, получим

Теперь

Таким образом,

Равенство достигается тогда и только тогда, когда

или

Заметим, что

поэтому

Этот результат не зависит от формы сигнала, если импульсная характеристика согласована с сигналом, как в случае (3.2.

2. Некоторые типичные формы сигналов и соответствующие им характеристики согласованных фильтров приведены ниже.

Решение задачи 3.3.6

1. Сначала вспомним теорему отсчетов для детерминированных функций. Пусть

Если

то можно записать

Этот результат имеет прямое доказательство. Теперь и) является детерминированной функцией, преобразование Фурье который имеет ограниченный спектр. Поэтому можно записать

Это предварительный результат, который необходим для вывода теоремы отсчетов применительно к случайным процессам. Для доказательства сходимости в среднеквадратическом необходимо показать, что

Но

Сумма во втором слагаемом равна согласно (3.1. Используя (3.1 дважды по отношению к третьему слагаемому, получим Таким образом, правая часть (3.2 равна

что и требовалось доказать.

где

Если

Заметим, что некоторые из коэффициентов являются коррелированными. В задаче 3.3.7 изложены необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять спектр, чтобы отсчеты (выборки) были некоррелированными.

Решение задачи 3.3.19

1. Согласно (2.334):

Согласно (8 на стр. 270

Сначала оценим числитель

В пределе при он обращается в

Чтобы оценить знаменатель, развернем его в виде

Из рассуждений на стр. 269—270 следует, что

Таким образом,

Используя (3.2 и (3.3 в (3.1, получим

2. Блок-схема приемника имеет вид и представляет собой коррелятор, математически тождественный согласованному фильтру в задаче 3.3.1.

Решение задачи 3.3.22

Уравнение оценки имеет вид

Записывая его в виде суммы, получим

Суммы в пределе обращаются в интегралы и мы имеем

что и требовалось найти.

Решение задачи 3.4.4

Интегральное уравнение, которым определяются собственные значения и собственные функции, имеет вид (3.46)

Сначала допустим, что положительно определено и

Тогда ортогональная система собственных функций образует полную ортонормированную систему и для любой функции которая интегрируема в квадрате,

можно записать равенство надо понимать в смысле предела в среднем).

Рассмотрим теперь

при Вставив разложение для получим

или

Обозначим наибольшее собственное значение через

так как

Итак,

Равенство соблюдается, если когда имеется одно наибольшее собственное значение. Если наибольшее собственное значение имеет кратность то любая взвешенная сумма соответствующих собственных функций дает равенство. Если является только неотрицательно определенной, то аналогичное рассуждение ведет к такому же результату.

Решение задачи 3.4.6

Указанные операции показаны на рисунке.

I. Согласно теореме Парсеваля:

Подставляя в (3.1, получим

Используя неравенство Буняковского-Шварца, имеем

Знак равенства соблюдается, если

Отсюда видно, что собственная функция, определяющая является просто уравнением, определяющим собственные значения и собственные функции ядра

Требуется сделать постоянное К как можно большим. Однако оно должно быть собственным значением (3.2. Следовательно, будет максимизировано, если является собственной функцией интегрального уравнения с наибольшим собственным значением А

Потребуем, чтобы

Ясно, что у максимизируется, если потребовать, чтобы

Тогда

Из результатов, полученных на стр. 228—231, известно, что оптимальная функция будет угловой функцией вытянутого сфероида.

3. При для получения у можно использовать рис. 3.12.

Решение задачи 3.4.8

Ковариационная функция имеет вид

Прежде всего необходимо найти дифференциальное уравнение. Из (3.46)

Дифференцируя, получим

Решение этого уравнения не вызывает затруднений,

Для отыскания постоянных сначала подставим (3.3а) в (3.1:

Подстановкой (3.36) в (3.4, интегрированием и перегруппировкой членов получим

Чтобы удовлетворяла интегральному уравнению, коэффициент члена, содержащего и постоянный член вместе должны быть равны нулю

Из этого следует, что

Подставляя теперь в постоянный член, получим

или

Это трансцендентное уравнение, которое можно решить относительно

где с — нормировочная постоянная. Формулу (3.6 можно также записать в виде

и свести к

Литература

(см. скан)

(см. скан)