Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Решение некоторых задач к главе 3Решение задачи 3.3.1 1. Неравенство Буняковского-Шварца имеет вид
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
Используя это неравенство применительно к числителю данного выражения, получим
Теперь
Таким образом,
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
или
Заметим, что
поэтому
Этот результат не зависит от формы сигнала, если импульсная характеристика согласована с сигналом, как в случае (3.2. 2. Некоторые типичные формы сигналов и соответствующие им характеристики согласованных фильтров приведены ниже.
Решение задачи 3.3.6 1. Сначала вспомним теорему отсчетов для детерминированных функций. Пусть
Если
то можно записать
Этот результат имеет прямое доказательство. Теперь
Это предварительный результат, который необходим для вывода теоремы отсчетов применительно к случайным процессам. Для доказательства сходимости в среднеквадратическом необходимо показать, что
Но
Сумма во втором слагаемом равна
что и требовалось доказать.
где
Если
Заметим, что некоторые из коэффициентов являются коррелированными. В задаче 3.3.7 изложены необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять спектр, чтобы отсчеты (выборки) были некоррелированными. Решение задачи 3.3.19 1. Согласно (2.334):
Согласно (8 на стр. 270
Сначала оценим числитель
В пределе при
Чтобы оценить знаменатель, развернем его в виде
Из рассуждений на стр. 269—270 следует, что
Таким образом,
Используя (3.2 и (3.3 в (3.1, получим
2. Блок-схема приемника имеет вид и представляет собой коррелятор, математически тождественный согласованному фильтру в задаче 3.3.1.
Решение задачи 3.3.22 Уравнение оценки имеет вид
Записывая его в виде суммы, получим
Суммы в пределе обращаются в интегралы и мы имеем
что и требовалось найти. Решение задачи 3.4.4 Интегральное уравнение, которым определяются собственные значения и собственные функции, имеет вид (3.46)
Сначала допустим, что
Тогда ортогональная система собственных функций образует полную ортонормированную систему и для любой функции можно записать Рассмотрим теперь
при
или
Обозначим наибольшее собственное значение через
так как
Итак,
Равенство соблюдается, если Решение задачи 3.4.6 Указанные операции показаны на рисунке.
I. Согласно теореме Парсеваля:
Подставляя
Используя неравенство Буняковского-Шварца, имеем
Знак равенства соблюдается, если
Отсюда видно, что собственная функция, определяющая
Требуется сделать постоянное К как можно большим. Однако оно должно быть собственным значением (3.2. Следовательно,
Потребуем, чтобы
Ясно, что у максимизируется, если потребовать, чтобы
Тогда
Из результатов, полученных на стр. 228—231, известно, что оптимальная функция 3. При
Решение задачи 3.4.8 Ковариационная функция имеет вид
Прежде всего необходимо найти дифференциальное уравнение. Из (3.46)
Дифференцируя, получим
Решение этого уравнения не вызывает затруднений,
Для отыскания постоянных сначала подставим (3.3а) в (3.1:
Подстановкой (3.36) в (3.4, интегрированием и перегруппировкой членов получим
Чтобы
Из этого следует, что
Подставляя теперь
или
Это трансцендентное уравнение, которое можно решить относительно
где с — нормировочная постоянная. Формулу (3.6 можно также записать в виде
и свести к
Литература(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|