4.3.1. Метод выбеливания

Сначала синтезируем структуру оптимального обнаружителя и оптимального устройства оценки. В этом параграфе предусматривается требование, чтобы уровень белого шума был отличен от нуля.

Структуры. В качестве предварительной операции пропустим через линейный фильтр с изменяющимися во времени параметрами, импульсная характеристика которого есть (рис. 4.37). Импульсная характеристика считается равной нулю при любом или и вне интервала

Рис. 4.37. «Выбеливающий» фильтр.

Пока не будем беспокоиться о реализуемости фильгра и о том, что характеристика может быть отличной от нуля при и Позднее в конкретных примерах мы рассмотрим также и реализуемые выбеливающие фильтры. Выход равен

когда истинна гипотеза и

когда истинна гипотеза Требуется выбрать так, чтобы

Заметим, что мы произвольно задались единичной спектральной плотностью шума на выходе выбеливающего фильтра. Это ограничение является просто удобным приемом нормировки.

В связи с изложенным возникает ряд вопросов. Какие ограничения должны быть наложены на чтобы гарантировать существование обратимого выбеливающего фильтра? Поскольку выбеливающий фильтр является линейным, его обратимость можно показать путем отыскания фильтра с такой характеристикой что

Предположим пока, что мы можем найти соответствующую систему условий, и продолжим наше рассуждение далее. Так как шум является «белым», можно использовать (22) и (23) непосредственно

Это можно также записать непосредственно через исходные колебания и

Данное выражение можно формально упростить, вводя новую функцию

Пока можно рассматривать ее как функцию, на которую мы случайно наткнулись, стремясь упростить уравнение. Позднее мы увидим, что она играет фундаментальнудю роль во многих наших рассуждениях. Переписав (151), получим

Выражение (153) можно упростить, записав

В (154) мы использовали строгое неравенство. В (153) g(z) появляется только под знаком интеграла. Поэтому, если не содержит сингулярностей на концах интервала, то можно приписать любое конечное значение в концевой точке и сохранит свое значение. Если имеется компонента белого шума, то можно показать, что функция интегрируема в квадрате (и, следовательно, не содержит

сингулярностей). Ради удобства сделаем непрерывной на концах интервала:

Видно, что построение функции правдоподобия связано с операцией вычисления корреляции между фактически принимаемым колебанием и функцией Поэтому с точки зрения синтеза приемника необходимой является только функция

Рис. 4.38. Различные варианты построения блок-схемы приемника в задаче с небелым шумом.

Заметим, что вычисление корреляции между есть просто сведение пространства наблюдений к одной достаточной статистике.

Три канонические схемы приемника для простого бинарного обнаружения представлены на рис. 4.38. Первые две схемы, как будет показано, являются практическими реализациями, тогда как третья допускает весьма интересную интерпретацию. Модификация рис. 4.38, б для получения реализации в виде согласованного фильтра является очевидной. Для реализации указанных приемников необходимо решить (149), (152) и (154). Вместо того, чтобы искать решения этих уравнений в замкнутой форме, в этом параграфе мы займемся отысканием решений в виде рядов собственных функций и собственных значений ядра Такой подход преследует две цели:

1. Этим самым демонстрируется, что решения существуют.

2. Такие решения полезны в некоторых задачах оптимизации. После получения указанных решений, мы определим помехоустойчивость приемника и распространим их на общие случаи задачи бинарного обнаружения, многоальтернативной задачи обнаружения и задачи оценки. Затем рассмотрим вопрос о решениях в замкнутой форме. Преимущество такого подхода заключается в том, что он позволяет получить полное представление о проблеме, связанной с наличием коррелированного шума, и установить многие ее важные особенности, не входя в утомительные подробности решения интегральных уравнений.

Построение Прежде всего необходимо выразить непосредственно через Вспомним определение Это линейный фильтр с изменяющимися во времени параметрами, выбранный так, что когда на его вход воздействует на выходе будет выборочная функция процесса типа белого гауссова шума. Гаким образом,

и

Подставляя (155) в (156), имеем

Вводя математическое ожидание под знак интеграла, получим

Чтобы получить (158) в такой форме, чтобы можно было ввести умножим обе части на и проинтегрируем по Это дает

Как видно из (152), последний интеграл есть просто Следовательно,

Из этого следует, что внутренний интеграл должен соответствовать импульсу на открытом интервале

Это и есть требуемый результат, связывающий непосредственно с исходной ковариационной функцией. Ввиду того, что является ядром многих представляющих интерес интегральных уравнений, часто называют обратным ядром.

Рис. 4.39. Реализация устройства обнаружения, использующего оптимальный линейный фильтр.

Из (145) известно, что состоит из импульса и члена с хорошей асимптотикой. Логично было бы выразить в аналогичной форме и Будем искать решение (161) в виде

Подставляя (145) и (162) в (161) и производя перегруппировку членов, получим уравнение, которому должна удовлетворять функция

Это уравнение известно нам из § 3.4.5, посвященного оптимальным линейным фильтрам [в частности формула (144) гл. 3]. Смысл этого сходства легко усматривается, если перечертить блок-схему рис. 4.38, в так, как показано на рис. 4.39. Функция разбивается на две части. Нетрудно заметить, что выход фильтра в нижней ветви блок-схемы есть оценка по минимуму среднеквадратической ошибки компоненты коррелированного шума в предположении, что истинна гипотеза Если бы было нам известно, то совершенно очевидно, что оптимальная обработка заключалась бы в вычитании из и пропускании результата через согласованный фильтр или

корреляционный приемник. Оптимальный приемник осуществляет именно эти операции, но только при неизвестном он дает оценку по минимуму среднеквадратической ошибки, т. е. , и затем использует ее. Интуитивно этот результат является желательным и будет часто встречаться при дальнейшем изложении.

Из результатов гл. 3 (3.154) можно записать формальное решение для через собственные значения Используя (3.154), получим

где и соответственно собственные значения и собственные функции ядра Можно записать полное обратное ядро в виде

Следует еще раз подчеркнуть, что возможность записать в виде суммы импульсной функции и функции с хорошей асимптотикой опирается в основном на наше предположение, что уровень белого шума на интервале отличен от нуля. Это математическое объясняение необходимости такого допущения.

Можно также записать в виде одного ряда. Выразим импульс через ряд, используя (3.128). В результате получим

где

(«Т» обозначает «полный»). Ряд (166) не сходится. Однако в большинстве случаев находится под интегралом и все выражение будет сходиться.

В качестве конечного результата нам необходимо найти уравнение, которое будет определять непосредственно через Начнем с соотношения (154):

Используемый нами метод основывается на обратной зависимости между описываемой выражением (161). Чтобы избавиться от умножим (168) на проинтегрируем по и используем (161). После этого получим

Подставив (145) в получим уравнение для открытого интервала Сделанное нами после (154) допущение о непрерывности позволяет обобщить результат на закрытый интервал Окончательный результат имеет вид

Для реализации приемника, как показано на рис. 4.38, б, необходимо решить непосредственно уравнение (1696). Метод получения решений в замкнутой форме будет изложен в § 4.3.6. Решение в виде ряда без труда можно записать, если использовать (168) и (165):

где

Первый член нам знаком по случаю белого шума. Второй член учитывает влияние небелого шума. Заметим, что всегда является интегрируемой в квадрате на интервале когда присутствует компонента белого шума. Проверку поведения на концах интервала отложим до § 4.3.3.

Краткие итоги. В этом параграфе получено решение для оптимального приемника применительно к задаче простого бинарного обнаружения известного сигнала на фоне небелого гауссова шума. Оптимальный приемник может быть реализован в виде одного из трех вариантов.

1. Выбеливающий фильтр (рис. 4.38, а).

2. Коррелятор (рис. 4.38, б).

3. Оценивающе-вычитающее устройство (рис. 4.39).

С каждой из указанных реализаций связано соответствующее интегральное уравнение, которое необходимо решить, чтобы синтезировать приемник [(158), (169) и (163)].

Было доказано, что решения в виде ряда можно получать в терминах собственных значений и собственных функций, однако фактическое отыскание решения в замкнутой форме было отложено до более поздних разделов. Было введено понятие «обратного ядра» и показан простой случай его приложения. Остались открытыми следующие вопросы:

1. Насколько хорошо работает система?

2. Как найти решение интересующих интегральных уравнений в замкнутой форме?

3. Каковы аналогичные результаты для задачи оценки?

Прежде чем ответить на эти вопросы, выведем упомянутые результаты, не прибегая к идее выбеливания. Ввиду указанных альтернативных выводов доказательство того, что является обратимым оператором, оставим в качестве упражнения для читателей (задача 4.3.1).