Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.3.1. Метод выбеливанияСначала синтезируем структуру оптимального обнаружителя и оптимального устройства оценки. В этом параграфе предусматривается требование, чтобы уровень белого шума был отличен от нуля. Структуры. В качестве предварительной операции пропустим
Рис. 4.37. «Выбеливающий» фильтр. Пока не будем беспокоиться о реализуемости фильгра и о том, что характеристика
когда истинна гипотеза
когда истинна гипотеза
Заметим, что мы произвольно задались единичной спектральной плотностью шума на выходе выбеливающего фильтра. Это ограничение является просто удобным приемом нормировки. В связи с изложенным возникает ряд вопросов. Какие ограничения должны быть наложены на
Предположим пока, что мы можем найти соответствующую систему условий, и продолжим наше рассуждение далее. Так как шум
Это можно также записать непосредственно через исходные колебания и
Данное выражение можно формально упростить, вводя новую функцию
Пока можно рассматривать ее как функцию, на которую мы случайно наткнулись, стремясь упростить уравнение. Позднее мы увидим, что она играет фундаментальнудю роль во многих наших рассуждениях. Переписав (151), получим
Выражение (153) можно упростить, записав
В (154) мы использовали строгое неравенство. В (153) g(z) появляется только под знаком интеграла. Поэтому, если сингулярностей). Ради удобства сделаем
Видно, что построение функции правдоподобия связано с операцией вычисления корреляции между фактически принимаемым колебанием и функцией
Рис. 4.38. Различные варианты построения блок-схемы приемника в задаче с небелым шумом. Заметим, что вычисление корреляции между Три канонические схемы приемника для простого бинарного обнаружения представлены на рис. 4.38. Первые две схемы, как будет показано, являются практическими реализациями, тогда как третья допускает весьма интересную интерпретацию. Модификация рис. 4.38, б для получения реализации в виде согласованного фильтра является очевидной. Для реализации указанных приемников необходимо решить (149), (152) и (154). Вместо того, чтобы искать решения этих уравнений в замкнутой форме, в этом параграфе мы займемся отысканием решений в виде рядов собственных функций и собственных значений ядра 1. Этим самым демонстрируется, что решения существуют. 2. Такие решения полезны в некоторых задачах оптимизации. После получения указанных решений, мы определим помехоустойчивость приемника и распространим их на общие случаи задачи бинарного обнаружения, многоальтернативной задачи обнаружения и задачи оценки. Затем рассмотрим вопрос о решениях в замкнутой форме. Преимущество такого подхода заключается в том, что он позволяет получить полное представление о проблеме, связанной с наличием коррелированного шума, и установить многие ее важные особенности, не входя в утомительные подробности решения интегральных уравнений. Построение
и
Подставляя (155) в (156), имеем
Вводя математическое ожидание под знак интеграла, получим
Чтобы получить (158) в такой форме, чтобы можно было ввести
Как видно из (152), последний интеграл есть просто
Из этого следует, что внутренний интеграл должен соответствовать импульсу на открытом интервале
Это и есть требуемый результат, связывающий
Рис. 4.39. Реализация устройства обнаружения, использующего оптимальный линейный фильтр. Из (145) известно, что
Подставляя (145) и (162) в (161) и производя перегруппировку членов, получим уравнение, которому должна удовлетворять функция
Это уравнение известно нам из § 3.4.5, посвященного оптимальным линейным фильтрам [в частности формула (144) гл. 3]. Смысл этого сходства легко усматривается, если перечертить блок-схему рис. 4.38, в так, как показано на рис. 4.39. Функция корреляционный приемник. Оптимальный приемник осуществляет именно эти операции, но только при неизвестном Из результатов гл. 3 (3.154) можно записать формальное решение для
где
Следует еще раз подчеркнуть, что возможность записать Можно также записать
где
(«Т» обозначает «полный»). Ряд (166) не сходится. Однако в большинстве случаев В качестве конечного результата нам необходимо найти уравнение, которое будет определять
Используемый нами метод основывается на обратной зависимости между
Подставив (145) в
Для реализации приемника, как показано на рис. 4.38, б, необходимо решить непосредственно уравнение (1696). Метод получения решений в замкнутой форме будет изложен в § 4.3.6. Решение в виде ряда без труда можно записать, если использовать (168) и (165):
где
Первый член нам знаком по случаю белого шума. Второй член учитывает влияние небелого шума. Заметим, что Краткие итоги. В этом параграфе получено решение для оптимального приемника применительно к задаче простого бинарного обнаружения известного сигнала на фоне небелого гауссова шума. Оптимальный приемник может быть реализован в виде одного из трех вариантов. 1. Выбеливающий фильтр (рис. 4.38, а). 2. Коррелятор (рис. 4.38, б). 3. Оценивающе-вычитающее устройство (рис. 4.39). С каждой из указанных реализаций связано соответствующее интегральное уравнение, которое необходимо решить, чтобы синтезировать приемник [(158), (169) и (163)]. Было доказано, что решения в виде ряда можно получать в терминах собственных значений и собственных функций, однако фактическое отыскание решения в замкнутой форме было отложено до более поздних разделов. Было введено понятие «обратного ядра» и показан простой случай его приложения. Остались открытыми следующие вопросы: 1. Насколько хорошо работает система? 2. Как найти решение интересующих интегральных уравнений в замкнутой форме? 3. Каковы аналогичные результаты для задачи оценки? Прежде чем ответить на эти вопросы, выведем упомянутые результаты, не прибегая к идее выбеливания. Ввиду указанных альтернативных выводов доказательство того, что
|
1 |
Оглавление
|