1. Введение

В предлагаемой двухтомной монографии мы будем изучать три раздела статистической теории, именуемые соответственно теорией обнаружения, теорией оценок и теорией модуляции. Цель данного курса — изложить указанные разделы на общей математической основе и показать, как полученными результатами можно пользоваться при решении широкого круга практических задач.

В этой главе мы дадим краткий обзор содержания курса в тематическом, методологическом и хронологическом аспектах. При изложении тематического плана делается попытка дать качественную характеристику каждого из названных разделов путем рассмотрения некоторых типичных задач. Излагая методологический план курса, мы рассматриваем различные подходы к решению тех или иных задач. И, наконец, характеризуя курс в хронологическом плане, мы объясняем порядок расположения материала обоих томов.

1.1. Тематический план монографии

Наиболее легкий путь для объяснения того, что понимается под теорией обнаружения, — это рассмотреть несколько физических ситуаций, которые приводят к задачам теории обнаружения.

На рис. 1.1 изображена простейшая цифровая (дискретная) система связи. Источник сообщений каждые секунд выдает двоичную цифру. Наша цель — передать эту последовательность цифр в какой-либо другой пункт. Каким каналом мы будем располагать для передачи этой последовательности, зависит от конкретных условий. Как правило, это может быть проводной, радио- или акустический канал.

В качестве примера рассмотрим радиоканал. Чтобы передать информацию, нужно привести ее к виду, пригодному для распространения по заданному каналу. Наиболее простой и непосредственный метод решения этой задачи — построение устройства, генерирующего в течение секунд синусоидальное колебание

если на предыдущем интервале времени источник выдал «единицу», или синусоидальное колебание другой частоты

если на предыдущем интервале времени источник выдал «нуль». Частоты о и о о выбираются так, чтобы сигналы хорошо

проходили по данному конкрегному радиоканалу. Выходные сигналы устройства поступают в антенну и далее передаются по каналу. Типичные последовательности символов на выходе источника и элементов передаваемого сигнала показаны на рис. 1.2.

В случае канала простейшего типа последовательность сигналов поступает на приемную антенну ослабленной, но по существу неискаженной.

Рис. 1.1. Цифровая система связи.

Для обработки принимаемого сигнала он пропускается через антенну и несколько каскадов усиления на принимаемой частоте, где к последовательности сообщения добавляется тепловой шум

Таким образом, на любом интервале времени длительностью секунд имеется колебание

если был передан сигнал и

если был передан сигнал

Итак, мы подошли к ситуации, когда нам необходимо решить, какой из двух возможных сигналов был передан. Устройство, которое осуществляет эту процедуру, называется решающим устройством (схемой).

Рис. 1.2. Типичные последовательности элементарных сигналов.

Оно наблюдает колебание и согласно некоторой системе правил пытается угадать, что было передано: или Это эквивалентно процессу определения того, что было на выходе источника в течение соответствующего интервала времени. Построение и определение характеристик такого устройства мы относим к числу проблем теории обнаружения. В приведенном случае единственным источником ошибок при вынесении решения является аддитивный шум. Если бы он отсутствовал, то входной сигнал был бы полностью известным и мы

могли бы принимать решения безошибочно. Задача такого типа соответствует случаю известного сигнала на фоне шума и является простейшей среди интересующих нас проблем теории обнаружения.

Примером более сложной задачи обнаружения может служить случай, изображенный на рис. 1.3. Генераторы, которые в предыдущем примере использовались для создания имеют дрейф фазы.

Рис. 1.3. Последовательность с фазовыми сдвигами.

Поэтому на заданном -секундном интервале времени принимаемый сигнал, соответствующий «единице», можно записать в виде

а соответствующий «нулю» — в виде

где неизвестные постоянные фазовые углы. Здесь даже в отсутствие шума входной сигнал оказывается известным неполностью. В практической системе в состав приемника может входить вспомогательное оборудование для измерения фазы генератора. Если фаза меняется достаточно медленно, то, как мы убедимся позднее, возможно ее практически точное измерение. Если указанное условие выполняется, то данная задача ничем не отличается от предыдущей. Однако, если измерение не вполне точно, то наша модель должна учитывать неопределенность сигнала.

Аналогичная задача возникает в радиолокации и в гидроакустике. Обычная РЛС излучает на некоторой частоте прямоугольный импульс

При, наличии цели импульс будет отражен. Но даже простейшая цель вызывает ослабление и сдвиг фазы зондирующего сигнала. Поэтому сигнал, поступающий на обработку в рассматриваемый интервал времени, при наличии цели имеет вид

а в отсутствие цели —

Даже в отсутствие шумов сигнал содержит три неизвестных величины: амплитуду фазу и время распространения сигнала до цели и обратно.

Два приведенных примера иллюстрируют задачи обнаружения второго уровня сложности, относимые нами к случаю сигнала с неизвестными параметрами на фоне шума.

Задачи обнаружения третьего уровня сложности возникают в ряде областей. В системе пассивной гидролокации приемник прослушивает шумы, создаваемые судами противника. Машины, винты и другие элементы корабля порождают акустический шум, который, распространяясь в водной среде, достигает гидрофонов системы обнаружения. Этот сложный результирующий сигнал наилучшим образом может быть представлен как выборочная функция случайного процесса. Кроме того, гидрофон создает собственные шумы и улавливает шумы моря. Поэтому подходящей моделью для данной задачи обнаружения может быть сигнал

при наличии цели, и сигнал

если цели нет. При отсутствии шума сигнал представляет собой выборочную функцию случайного процесса (обозначаемого подстрочным индексом ).

В большом числе систем связи используются каналы, которым присущ случайный характер изменения параметров. Типичными в этом смысле являются системы связи с тропосферным рассеянием, системы с использованием орбитальных отражающих поясов и системы создания пассивных радиопомех с использованием дипольных отражателей.

Общепринятым методом является передача одного из двух разнесенных по частоте сигналов (эти частоты обозначим Результирующий принимаемый сигнал есть

при условии, что передавался и

если был передан Здесь есть выборочная функция случайного процесса со средней частотой выборочная функция случайного процесса со средней частотой

Эти примеры характеризуются отсутствием каких-либо детерминированных компонент сигнала. Любое вырабатываемое нами правило решения должно основываться на различии статистических свойств двух случайных процессов, из которых берутся выборки Этот случай соответствует задаче обнаружения третьего уровня сложности, а именно, обнаружения случайного сигнала на фоне шума.

Рассмотрев этот ряд характерных примеров, мы убедились, что задачи теории обнаружения характеризуются тем, что необходимо решать, какая из нескольких гипотез (альтернатив) является истинной. Во всех приведенных примерах имелось только две гипотезы.

Поэтому задачи такого типа называются бинарными. Позднее мы встретимся с задачами, в которых возможно М гипотез (многоальтернативные задачи обнаружения). Наша классификация проблем обнаружения приведена на рис. 1.4.

Рис. 1.4. (см. скан) Классификация задач теории обнаружения.

Аналогичный ряд проблем имеется и в области теории оценок. Простейший пример такой задачи иллюстрируется рис. 1.5, где источник выдает аналоговое сообщение (рис. 1.5, а). Чтобы передать сообщение, мы сначала берем его отсчеты (выборки) через каждые секунд. Затем через каждые секунд посылаем сигнал, который содержит некоторый параметр, однозначно связанный со значением отсчета на предшествующем интервале времени; Сигнал, изображенный на рис. 1.5,б, является синусоидой, амплитуда которой на данном интервале зависит от значения отсчета на предыдущем интервале. Так, если значение отсчета в момент равно то сигнал на интервале равен

Система такого типа называется системой амплитудно-импульсной модуляции (АИМ).

На рис. 1.5, в сигнал представлен синусоидой, частота которой на данном интервале отличается от опорной частоты на величину, пропорциональную значению предыдущего отсчета,

Система такого типа называется системой частотно-импульсной модуляции (ЧИМ). Как и в ранее рассмотренных примерах, здесь имеет место аддитивный шум. Принятое колебание при условии, что значение отсчета было АПУ можно записать в виде

На каждом интервале времени приемник должен оценить величину Эти оценки мы обозначаем через Как показано на рис. 1.5, г, за некоторый период времени мы получим последовательность оценок, подаваемую далее на устройство, выходная величина которого является оценкой исходного сообщения

Рис. 1.5. а — дискретизация аналогового источника; б - амплитудно-импульсная модуляция; в — частотно-импульсная модуляция; г - восстановление сигнала.

Если сигнал с ограниченным спектром, то таким устройством является просто идеальный фильтр нижних частот. Для других случаев оно оказывается более сложным.

Если бы в данном примере параметры сигнала были известны, а шум отсутствовал, то принятый сигнал был бы известным полностью. Задачи этой категории мы относим к числу задач, связанных с оценкой известного сигнала на фоне шума. Если предположить, что существует преобразование, обратное преобразованию в передатчике, то нетрудно видеть, что при отсутствии шума величину можно определить однозначно. (Ясно, что если бы проектирование передатчика было в наших руках, мы всегда выбирали бы операцию отображения, имеющую обратное преобразование.) Случай известного сигнала на фоне шума соответствует задаче первого уровня сложности в классификации задач теории оценок.

Рис. 1.6. Спектр случайного сигнала.

Обратимся вновь к радиолокации и рассмотрим несколько другую задачу. Допустим, что о присутствии цели нам известно, но ее дальность или скорость мы не знаем. В этом случае принятый сигнал можно записать в виде

где допплеровский сдвиг, обусловленный движением цели. Необходимо оценить Теперь, даже при условии, что шум отсутствует, а известны, сигнал содержит неизвестные параметры Это типичная задача второго уровня сложности в теории оценок. По аналогии с теорией обнаружения задачи этой категории называются задачами оценки сигнала с неизвестными параметрами на фоне шума.

В задачах третьего уровня сложности сигнал является случайным процессом, статистические характеристики которого содержат параметры, подлежащие оценке. Принятый сигнал в этом случае запишется в виде

где выборочная функция случайного процесса. В простейшем случае это может быть стационарный процесс с узкополосным спектром, изображенным на рис. 1.6. Форма спектра этого процесса известна, а средняя частота — нет. Наблюдая и используя статистические свойства и приемник производит оценку значения А. Подобная ситуация возникает в радиоастрономии и в пассивной гидролокации. Общий класс задач, в которых сигнал, содержащий

искомые параметры, является выборочной функцией случайного процесса, характеризуется как задача оценки случайного сигнала на фоне шума. Иерархия (классификация) задач теории оценок представлена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. (см. скан) Классификация задач теории оценок.

Нетрудно усмотреть значительное сходство между задачами теории обнаружения и теории оценок. В дальнейшем мы часто будем пользоваться этой аналогией в целях сокращения изложения, однако следует подчеркнуть и принципиальное различие. В случае бинарного обнаружения приемник выдает либо истинный, либо ложный результат. При оценке же непрерывного параметра приемник редко выдает точное значение параметра, но от него требуется, чтобы большую часть времени он был точным. Это различие найдет свое отражение в том, каким образом мы будем судить о рабочих характеристиках систем.

Третью область наших интересов часто называют теорией модуляции. Мы вскоре убедимся, что этот термин слишком узок для реальных задач. Для пояснения существа дела полезно вновь обратиться к простому примеру. На рис. 1.8 изображен источник аналоговых сообщений, которыми, как правило, могут быть речь или музыка. Для передачи сообщения по каналу используется какой-либо метод модуляции, преобразующий сообщение к виду, пригодному для распространения в физической среде канала. Передаваемый сигнал представляет собой непрерывное колебание, которое является некоторой детерминированной

функцией сообщения На рис. 1.8,б в качестве примера такого сигнала приведено амплитудно-модулированное колебание

(Это случай обычной двухполосной AM с индексом модуляции На рис. 1.8, в передаваемый сигнал представляет собой частотно-модулированное (ЧМ) колебание

При наличии шумов принятый сигнал имеет вид

Теперь приемник должен наблюдать и выдавать непрерывную оценку сообщения а как показано на рис. 1.8, г. Данный пример соответствует задаче первого уровня сложности в теории модуляции, так как если бы шума не было, а сообщение а было бы известно, то принятый сигнал был бы полностью известным. Поэтому мы и характеризуем этот случай как задачу определения известного сигнала на фоне шума.

Другого типа физическая ситуация, в которой нужно оценить непрерывную функцию, иллюстрируется рис. 1.9. Канал в данном случае является линейной системой с постоянными во времени параметрами, импульсная характеристика которой неизвестна.

Рис. 1.8. Пример из области теории модуляции: а — система передачи аналогового сообщения; амплитудно-модулированный сигнал; в — частотно-модулированный сигнал; демодулятор.

Для оценки импульсной характеристики мы передаем известный сигнал Принятый сигнал имеет вид

Приемник наблюдает колебание и пытается оценить Наилучшим образом этот конкретный пример может быть описан как задача

Непрерывной оценки. Далее нам будут встречаться мнбго других задач, в которых требуется получить оценку непрерывного сигнала. Ради удобства при описании задач этого типа мы будем пользоваться термином «теория модуляции», хотя термин «теория оценок непрерывного сигнала» был бы более точным и содержательным.

Рис. 1.9. Измерение параметров канала.

По аналогии можно без труда указать задачи теории модуляции других уровней сложности. В системе амплитудной модуляции, представленной на рис. 1.8, б, при приеме часто бывает неизвестной фаза несущей. В этом случае подходящей моделью является

где — неизвестный параметр. Это пример задачи из области теории модуляции, соответствующий случаю сигнала с неизвестными параметрами на фоне шума.

Простым примером задачи третьего уровня сложности (случайный сигнал на фоне шума) может служить передача частотно-модулированного

Рис. 1.10. (см. скан) Классификация задач теории модуляции.

сигнала по радиоканалу, амплитудная и фазовая характеристики которого изменяются во времени. Нетрудно убедиться, что если по данному каналу передать сигнал вида (20), то принятое колебание можно записать в виде

где и выборочные функции случайных процессов. Таким образом, даже если бы сообщение было известно, а шум отсутствовал, то принятый сигнал все равно был бы случайным процессом. Общая классификация интересующих нас задач теории модуляции приведена на рис. 1.10. Дополнительные примеры, включенные в таблицу с тем, чтобы характеризовать широту задач, охватываемых нашим тематическим планом, более подробно рассмотрены в основном тексте.

Теперь, когда в общих чертах определены интересующие нас области статистической теории, целесообразно наметить возможные пути решения соответствующих им задач.