6.4.4. Однополосная амплитудная модуляция с подавленной несущей

В случае однополосной системы связи сообщением модулируется несущее колебание Кроме этого, временной функцией линейно связанной с модуляции подвергается несущее колебание Таким образом, передаваемый сигнал имеет вид

Здесь коэффициент исключен с тем, чтобы мощность передачи была такой же, как в случае двухполосной амплитудной модуляции. Несущее колебание в этом случае также подавляется.

Рис. 6.61. Спектр передачи ОБП.

Функция есть преобразование Гильберта от функции Она соответствует выходу линейного фильтра у которого входом служит функция Передаточная функция фильтра равна

Можно показать (см. задачу 6.4.2.), что результирующий сигнал имеет спектр, полностью лежащий выше несущей на оси частот (рис. 6.61).

Чтобы найти структуру оптимального демодулятора и его помехоустойчивость, рассмотрим случай как наиболее простой. Из (505) видно, что случай соответствует комбинации слагаемых с памятью и без памяти.

Существует несколько путей для вывода уравнения оценки. Можно вернуться к выводу (5.25), сделанному в гл. 5, модифицировать это выражение для и далее продолжить с этого момента (см. задачу 6.4.3). Идя другим путем, можно рассмотреть векторную задачу и произвести совместную оценку (см. задачу 6.4.4). Подобная эквивалентность имеет здесь место ввиду того, что входят в передаваемый сигнал линейным образом. Заметим, что метод переменных состояния оказывается нецелесообразным, поскольку фильтр, осуществляющий преобразование Гильберта (506), не является динамической системой с конечным числом степеней свободы.

Предлагаем читателю в качестве упражнения сделать соответствующий вывод, здесь же приведем только окончательные результаты. Полагая, что шум является белым и имеет спектральную плотность и используя (5.160), получим уравнение оценки

и

Эти уравнения выглядят довольно сложными. Однако, перечертив блок-схему и использовав определение мы придем к простому приемнику рис. 6.62 (более подробное изложение можно найти в задаче 6.4.5).

Рис. 6.62. Приемник ОБП.

Нетрудно показать, что имеет спектральную плотность Сравнение рис. 6.60 и 6.62 делает очевидным, что по помехоустойчивости однополосная модуляция с подавленной несущей и двухполосная модуляция с подавленной несущей по среднему квадрату ошибки равноценны. Поэтому при выборе системы для конкретного применения мы должны руководствоваться другими соображениями, например эффективностью использования спектра (занимаемой полосой частот).

Приведенные два примера иллюстрируют основную идею решения задачи оценки сообщения при линейных методах модуляции, используемых в обычных системах связи.

Представляют также интерес еще два вида модуляции: двухполосная и однополосная амплитудная модуляция, в которых несущая не подавляется. Передаваемый сигнал в первом случае записывается в виде (488). Синтез приемников осуществляется аналогичным образом.

С точки зрения точности оценки можно ожидать, что поскольку часть располагаемой мощности расходуется на передачу остаточной несущей, ошибка оценки должна увеличиться. Качественно это легко показать (см. задачи 6.4.6 и 6.4.7). Мы вправе спросить, зачем вообще сохранять остаточную несущую. Ответ, разумеется, надо искать в нашей модели линии связи.

Мы предполагали, что модулируемая функция (или несущая) точно известна на приеме. Иначе говоря, мы исходили из того, что приемник синхронизирован по фазе с генератором передатчика. По этой причине оптимальные приемники рис. 6.58 и 6.60 часто называют синхронными демодуляторами. Для применения такого демодулятора на практике приемник необходимо обеспечить точно такой же несущей. В простейшем случае с этой целью передается тональный пилот-сигнал, однозначно связанный с несущей. В приемнике пилот-сигнал используется для формирования копии колебания При рассмотрении системы, в которой несущая, восстанавливается из сигнала, посылаемого передатчиком, мы сталкиваемся с проблемой неточности получаемой копии Указанная неточность объясняется наличием помех в канале, по которому передается пилот-сигнал. Хотя вопросы восстановления несущей из принимаемого сигнала будут изложены более систематически в гл. 2 второго тома, мы можем проиллюстрировать влияние фазовой ошибки в системе при помощи простого примера.

Пример. Пусть

Допустим, что используется детектор рис. 6.58 или 6.60. Однако вместо умножения точно мы умножаем на , где фазовый угол, являющийся случайной величиной с распределением Будем считать, что от не зависит.

Легко показать, что при заданном значении эффект неточного знания опорной фазы эквивалентен уменьшению мощности сигнала

Мы можем далее найти выражение для среднего квадрата ошибки (реализуемой или нереализуемой) для сигнала уменьшенной мощности и усреднить результат по распределению По своей идее выкладки не вызывают затруднений, однако довольно утомительны (см. задачи 6.4.8 и 6.4.9).

Интуитивно представляется, что если угол почти всегда мал (скажем, , то влияние неточности будет незначительным. В этом случае наша модель, в которой предполагается известной точно, является хорошим приближением к действительной физической ситуации, а результаты, получаемые при помощи этой код ел и, будут точно предсказывать помехоустойчивость реальной системы. Возникает ряд близких вопросов.

1. Можно ли восстановить несущую, совсем не затрачивая мощности на передачу пилот-сигнала? Этот вопрос обсуждался Костасом [50]. Мы рассмбтрим его в разделе задач к гл. 2 второго тома.

2. Если в оценке имеется случайная ошибка, то является ли оптимальной структура приемника, изображенная на рис. 6.58 или 6.60? В общей постановке вопроса ответ будет отрицательным. Однако в большинстве практических случаев эта структура незначительно отличается от оптимальной.

3. Можно ли построить теорию оптимальных оценок, которая имела бы практическое значение для общего случая случайной модуляционной матрицы, т. е.

где случайная величина? Мы убедимся впоследствии, что конструктивность такой теории зависит от статистики (Оказывается, что наиболее просто можно ответить на этот вопрос лишь в разделе задач к гл. 3 второго тома.)

4. Если синхронное детектирование является оптимальным, то почему оно не используется более часто? Это объясняется сравнительной сложностью реализации синхронного детектирования. В задаче 6.4.10 вычислена помехоустойчивость системы ДБП - AM с остаточной несущей при использовании простого детектора. При большом отношении сигнал/шум она лишь незначительно уступает помехоустойчивости синхронного детектирования. Поэтому в тех случаях, когда мы имеем один передатчик и много приемников (например, при коммерческом радиовещании), гораздо проще увеличить мощность передатчика, чем усложнять схему приемника. Однако в военной и космической связи чаще бывает легче усложнить приемник, чем увеличить мощность передатчика.

На этом мы заканчиваем рассмотрение линейных методов модуляции. Обсудим теперь кратко некоторые результаты, полученные в данной главе.