4.3.5. Отыскание оценок

Модель принимаемого сигнала в задаче оценки параметра записывается в виде

Основная операция над принятым колебанием заключается в построении функции правдоподобия, для которой не представляет труда

вывести соответствующее выражение. Если проанализировать (98—101) и (146—153), то станет очевидным, что ответ можно записать в виде

Этот результат аналогичен (153) в задаче обнаружения. Если ввести

или, в эквивалентной форме,

то (217) сводится к соотношению

Наши рассуждения в § 4.2.2 и 4.2.3 очевидным образом привели нас к случаю небелого шума.

Сделаем краткий обзор наиболее существенных результатов по задачам линейных и нелинейных оценок.

Линейные оценки. Принятое колебание имеет вид

где нормирован на интервале и равен нулю вне интервала. Подставив (221) в (218), получим

где функция, полученная в случае простого бинарного обнаружения путем решения (169).

Таким образом, задача линейной оценки практически эквивалентна задаче простого бинарного обнаружения. Блок-схема устройства оценки изображена на рис. 4.41. Она полностью определяется, если найти Если А — неслучайная (детерминированная) величина, то нормированная дисперсия равна

где определяется выражением (198). Если А есть значение случайной величины а с нормальным распределением априорной вероятности, то минимальный средний квадрат ошибки равен

(Эти результаты соответствуют (96) и (97) для случая белого шума.) Легко можно провести все аналогичные рассуждения относительно вырожденных критериев и оптимальных сигналов.

Нелинейные оценки. При отыскании нелинейных оценок в присутствии небелого шума мы встречаемся с теми же трудностями, какие имеют место в случае белого шума. Кроме этого, требуется найти либо либо

Рис. 4.41. Линейное оценивание при небелом шуме.

Поскольку все результаты для этого случая являются очевидными модификациями выражений, полученных в § 4.2.3, приведем их краткую сводку.

1. Необходимое, но в то же время недостаточное условие существования

2. Необходимое, но в то же время недостаточное условие существования атар (в предположении, что а имеет нормальное распределение априорной вероятности):

3. Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки неслучайной величины А:

или, что эквивалентно,

4. Нижняя граница среднего квадрата ошибки при оценивании нормальной случайной величины а, имеющей нулевое среднее, равна

5. Нижняя граница дисперсии любой несмещенной оценки неслучайной величины в частном случае бесконечного интервала наблюдения и стационарной помехи равна

где

Как было показано в § 4.2.3, результаты такого типа всегда справедливы, но для оценки их полезности всегда необходимо проверить общую функцию правдоподобия. Иначе говоря, нельзя игнорировать проблему порога.

Единственным нерассмотренным вопросом для случая небелой помехи является отыскание решения для или в замкнутой форме. Эту задачу рассмотрим в следующем параграфе.