6.2.5. Оптимальные системы с обратной связью

Одной из форм, в которой оптимальные линейные фильтры встречаются при последующем изложении, — это в качестве элементов систем с обратной связью. Модификация наших результатов, с тем чтобы охватить этот случай, не вызывает затруднений.

Пусть остаются в силе все допущения, сделанные в начале § 6.2 (стр. 556—557). Кроме того, потребуем, чтобы линейное устройство обработки имело форму, изображенную на рис. 6.20. Здесь линейный фильтр, причем выбирается так, чтобы получить наилучшее

Рис. 6.20. Система с обратной связью.

Ограничения этого типа естественно возникают при рассмотрении систем управления [9]. В гл. 2 второй части будет показано, как они выступают в роли линеаризованных вариантов демодуляторов. Ясно, что мы хотим, чтобы передаточная функция замкнутой петли обратной связи была равна Обозначим фильтр с обратной связью, осуществляющий эту операцию, через Теперь

Решая относительно получим

Для общего случая определяем используя (78) и подставляя результат в (174).

Для частного случая § 6.2.4 можно написать ответ прямо. Подставив (141) в (174), будем иметь

Отсюда видно, что имеет те же полюсы, что и следовательно, является устойчивым реализуемым фильтром. Видно также, что полюсы (а следовательно, и фильтра в петле обратной связи)

есть просто полюсы спектра сообщения, расположенные в левой половине -плоскости.

Сообщение можно представить себе как выходное напряжение линейного фильтра, когда на вход его подается белый шум. Общий рациональный случай иллюстрируется рис. 6.21, а. Мощность регулируется путем изменения спектральной плотности

Спектр сообщения записывается в виде

Степень числителя должна быть по крайней мере на единицу ниже степени знаменателя, чтобы удовлетворялось допущение о конечной мощности, сделанное в § 6.2.4. Из (175) видно, что оптимальный фильтр с обратной связью имеет такие же полюсы, что и фильтр, который может быть использован для создания сообщения. Поэтому фильтр в петле обратной связи имеет форму, показанную на рис. 6.21, б.

Рис. 6.21. Фильтры: а — моделирование сообщений; б - каноническая схема фильтра в виде системы с обратной связью.

Нетрудно доказать, что степень числителя передаточной функции фильтра в петле обратной связи точно на единицу ниже степени знаменателя (см. задачу 6.2.27). Структура фильтра, изображенная на рис. 6.21, б, называется канонической реализацией оптимального фильтра с обратной связью для рациональных спектров сообщений [21]. В § 6.3 мы убедимся, что общую каноническую реализацию фильтра с обратной связью можно получить для нестационарных процессов и конечных интервалов наблюдения.

Заметим, что для отыскания числителя по-прежнему необходимо производить операцию разложения на множители (см. задачу 6.2.27).

Можно также показать, что первый коэффициент в числителе равен задачу 6.2.28).

Последний вопрос относительно реализации оптимальных линейных фильтров в виде систем с обратной связью связан с нереализуемыми фильтрами. Так как в § 6.2.2 и 6.2.3 [(108б) и (127)] уже было показано, что использование нереализуемого фильтра (или введение задержки) всегда улучшает помехоустойчивость, то следует учесть это и в схеме с обратной связью. Ранее мы аппроксимировали нереализуемые фильтры путем введения задержки. Из рис. 6.20 видно, что это не применимо в случае потому, что выходное напряжение подается на вход в действительном масштабе времени, становясь частью входного напряжения.

Рис. 6.22. Нереализуемый фильтр, включенный после петли обратной связи.

Если допустимо использовать фильтр после схемы с обратной связью, как показано на рис. 6.22, то можно рассматривать и нереализуемые операции. Задержка в фильтре на выходе системы с обратной связью не вызывает каких-либо затруднений, так как его выходное напряжение не используется более ни в какой другой части системы.

Выражение для оптимального нереализуемого фильтра на выходе системы с обратной связью получить нетрудно. Так как последовательное соединение двух систем должно соответствовать а система с обратной связью при замкнутой петле то

Получающуюся передаточную функцию можно аппроксимировать с какой угодно точностью путем введения задержки.