6.3.4. Обобщения

Чтобы охватить другие интересные задачи, необходимо сделать ряд обобщений. Рассмотрим их кратко в данном параграфе.

Предсказание. В этом случае где а — положительно. Можно легко показать, что

где переходная матрица системы,

(см. задачу 6.3.37).

Если мы имеем дело с системой, параметры которой постоянны, то

и (422) обращается в

Фильтрация с задержкой. В этом случае но а отрицательно. Из предыдущих рассуждений известно, что в этом случае возможен значительный выигрыш, в связи с чем целесообразно его охватить в нашем обобщении. Однако здесь модификация полученного результата не столь проста, как в предыдущем случае предсказания. Оказывается, что канонический приемник сначала находит реализуемую оценку, а затем использует ее для получения требуемой оценки. Задачи этого типа основательно рассмотрены в [40]. Задача оценивания где точка внутри фиксированного интервала наблюдения, также рассмотрена в [40]. Указанные задачи аналогичны задачам на нереализуемые фильтры, рассмотренным в § 6.2.3 (см. задачу 6.6.4).

Линейные преобразования вектора состояния. Если есть линейное преобразование переменных состояния т. е.

то

Заметим, что не является линейным фильтром, а есть линейное преобразование переменных состояния. Этим самым просто утверждается то, что оценивание по минимуму среднеквадратической ошибки и линейное преобразование коммутативны. Матрицу ошибок получаем без особого труда:

Именно этот метод был нами использован в примере

Некоторые линейные операции. Во многих случаях полезный сигнал получают путем пропускания или через линейный фильтр, как показано на рис. 6.55.

Представляют интерес линейные операции трех типов:

1. Операции типа дифференцирования, например

Данное выражение имеет смысл только тогда, когда есть выборочная функция дифференцируемого в среднеквадратическом

процесса. Если это условие соблюдается, то всегда можно выбрать как одну из компонент вектора состояния сообщения и тогда будут непосредственно применимы результаты § 6.3.2. Заметим, что

Иначе говоря, линейная фильтрация и реализуемое оценивание не коммутативны. Результат (430) станет очевидным, если мы рассмотрим структуру системы оценки, представленную на рис. 6.51.

Рис. 6.55. Требуемые линейные операции.

2. Несобственные операции. Например, предположим, что скалярная функция и

где

В этом случае полезный сигнал является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое есть Второе слагаемое является результатом операции свертки по истекшей части Вообще несобственная операция состоит из взвешенной суммы с его производными плюс некоторая операция при наличии памяти. Чтобы получить представление посредством переменных состояния, необходимо несколько модифицировать наши результаты. Обозначим вектор состояния динамической системы, импульсная характеристика которой есть через (Здесь она является скаляром.) Тогда

и

Таким образом, выходное уравнение содержит дополнительное слагаемое. В общем виде

Из (435) видно, что если преобразовать вектор состояния так, чтобы он содержал как так и то будет справедливо (427). Введем преобразованный вектор состояния

Уравнение для модифицированного процесса имеет вид

Уравнение наблюдения остается без изменения

Однако нам необходимо переписать его в терминах модифицированного вектора состояния

где

Теперь получается в результате линейного преобразования модифицированного вектора состояния. Итак,

(В качестве простого примера см. задачу 6.3.41.)

3. Собственная операция. В этом случае импульсная реакция не содержит никаких импульсов или их производных. Здесь прямо применимы все замечания для случая несобственных операций, если положить

Рис. 6.56. Линейная фильтрация перед передачей.

Линейная фильтрация перед передачей. В этом случае сообщение перед передачей пропускают через линейный фильтр, как показано на рис. 6.56. Все замечания, относящиеся к предыдущему случаю, можно применять и здесь, если сделать очевидную модификацию

Например, если линейная фильтрация является несобственной операцией, то можно записать

Тогда модифицированный вектор состояния будет иметь вид

Уравнение модифицированного процесса записывается в виде

При этом уравнение наблюдения переходит в следующее:

Для двух последних случаев модифицированный вектор состояния является ключом к решению задачи.

Корреляция между u(t) и w(t). На практике встречаются случаи, когда векторный процесс белого шума генерирующий сообщение, коррелирован с векторным шумом измерения Модификация вывода оптимального алгоритма в этом случае не вызывает затруднений. Рассматривая исходный вывод, видим, что результаты для первых двух этапов остаются неизменными. Поэтому

В случае коррелированных выражение для

необходимо модифицировать. На основании свойства 3А-V и определения имеем

Умножением на получим

Теперь из векторного уравнения Винера-Хопфа следует, что

Используя (451) в (450), получим

Первое слагаемое (452) непрерывно, а второе в пределе равно нулю, поскольку равно нулю во всех точках, кроме Ввиду непрерывности интеграл равен нулю. Третье слагаемое учитывает влияние корреляции. Таким образом,

Используя свойство 13 (стр. 606), получим

где

Тогда

Последнее, что нам остается, — это модифицировать дисперсионное уравнение. Из (328) видно, что нам необходимо вычислить математическое ожидание

Для этого введем новую возбуждающую функцию, воспроизводящую белый шум,

Тогда

или

Используя свойство 13 (стр. 606), будем иметь

Подстановкой в дисперсионное уравнение (327) получим

Если для использовать выражение (456), то (462) обращается в

что и является требуемым результатом. Сравнивая (463) с обычным дисперсионным уравнением (341), нетрудно заметить, что полученная структура является точно такой же. Коррелированный шум оказывает такое же влияние, как изменение в (330). Если ввести

и

то (341) можно использовать непосредственно. Заметим, что структура данного фильтра совпадает со структурой фильтра в случае отсутствия корреляции; меняется только зависимость от времени коэффициента передачи Здесь мы впервые встречаемся с изменяющейся во времени Результаты (339) — (341) оказываются справедливыми и для данного случая. Ряд интересных случаев, когда имеет место корреляция, вынесен в задачи.

Случай одного цветного шума. В рассуждениях мы исходили из того, что присутствует ненулевая компонента белого шума. В задаче обнаружения мы встречались со случаями, когда снятие этого допущения приводило к вырожденным испытаниям. Поэтому несмотря на то, что это допущение оправдывается физическими соображениями, целесообразно исследовать случай, когда компонента белого шума отсутствует. Начнем с простого примера.

Пример. Процесс генерации сообщения описывается дифференциальным уравнением

Генерация цветного шума описывается дифференциальным уравнением

Процесс наблюдения является суммой этих двух процессов

Здесь отсутствует белый шум. Все наши предыдущие рассуждения в связи с «выбеливающими» (декоррелирующими) фильтрами исходили из того, что посредством некоторой процедуры можно пропустить через фильтр, рассчитанный так, что выход, обусловленный будет белым шумом. Обратим внимание, что мы отбеливали только цветной шум, а не всю входную смесь. Из (468) нетрудно усмотреть, что полезным выходным сигналом является Обозначив новую выходную величину через имеем

где

Теперь мы получили нашу задачу в знакомой форме записи

где

Уравнение состояния имеет вид

Видно, что измерительный шум коррелирован с

так что

Структуру оптимального фильтра нетрудно получить, если использовать уравнение передачи (456) и дисперсионное уравнение (463), выведенные в последнем параграфе. Общий случай является несколько более сложным, но основная идея остается той же (см., например, [43], [41] или задачу 6.3.45).

«Чувствительность». Во всех наших рассуждениях мы исходили из того, что матрицы известны точно. На практике матрицы могут фактически отличаться от предполагаемых. Проблема чувствительности сводится к отысканию увеличения ошибки, когда реальные матрицы не соответствуют модели. Примем следующую модель:

Корреляционными матрицами являются Обозначим матрицу ошибок при допущении данной модели через (Подстрочным индексом «то» заменяется слово «модель».) Теперь допустим, что реальная ситуация описывается уравнениями

с корреляционными матрицами Нам необходимо найти фактическую ковариационную матрицу ошибок системы, являющейся оптимальной при данной модели, когда на входе действует (Подстрочный индекс заменяет слово «actual».) Подробный вывод сделан в [44]. Основные результаты приведены в виде соотношений (484) — (487). Введем величины:

Действительная ковариационная матрица ошибок определяется тремя матричными уравнениями

где

удовлетворяет знакомому нам линейному уравнению

Видно, что можно сначала решить (487), а затем (485) и (484). Другими словами, эти уравнения связаны только в одном направлении. Решая таким образом и считая, что дисперсионное уравнение для Уже решено, мы убедимся, что эти уравнения являются линейными и изменяющимися во времени. Некоторые типичные примеры рассмотрены в [44], а также в задачах.

Краткие итоги § 6.3

С учетом указанных обобщений формулировка модели в виде фильтра с обратной связью пригодна для решения всех задач, которые только можно решить на основе классической винеровской теории. (Возможным исключением является случай стационарного процесса с нерациональным спектром. Теоретически метод спектрального представления пригоден для нерациональных спектров, если, они удовлетворяют критерию Палея — Винера, но фактическое решение в большинстве интересующих случаев практически выполнять нецелесообразно).

Перечислим кратко некоторые преимущества формулировки задачи при помощи переменных состояния.

1. Так как это представление во временной области, то его легко распространить на нестационарные процессы и конечные интервалы времени.

2. Форма решения такова, что его можно реализовать на ЭВМ. Это преимущество не следует недооценивать. Часто, когда поставленная задача достаточно проста и ее можно решить аналитически, наша интуиция оказывается достаточно хорошей, так что оптимальное устройство обработки оказывается лишь немного лучше, чем логически правильно спроектированное, но специализированное устройство обработки. Однако по мере возрастания сложности модели наша интуиция становится все менее надежным путеводителем, и оптимальная схема зачастую играет роль руководства по проектированию устройства обработки. Если мы не в состоянии простым способом получить количественные ответы для оптимального устройства обработки, то это преимущество утрачивается.

3. Третье достоинство не является очевидным из нашего рассмотрения. В оригинальной работе [23] признается и широко используется дуальность задач оценки и автоматического управления. Это позволяет строго доказать многие из полезных результатов методами, заимствованными из области автоматического управления.

4. Другое преимущество метода переменных состояния, которым мы не будем пользоваться в полной мере, заключается в его применимости к задачам, связанным с нелинейными системами. В гл. 2 второго тома мы докажем некоторые результаты, которые могут быть получены этим методом.

Разумеется, у этого метода имеются и свои недостатки. К числу наиболее существенных недостатков относятся следующие:

1. Представляется затруднительным получить выражения для ошибки в замкнутой форме, аналогичные (152).

2. В нескольких случаях, как например, в случае нереализуемых фильтров, задачи этим методом решать значительно труднее.

Материал данного параграфа служит в качестве введения в вопросы применения метода переменных состояния. Со времени появления оригинальной работы Кальмана и Бьюси в этой области выполнено большое число исследований. Различные аспекты данной задачи и родственные вопросы рассмотрены во многих статьях и книгах. В гл. 2—4

второго тома мы еще раз встретимся с задачами, при решении которых используется метод переменных состояния.

Обратимся теперь к задаче амплитудной модуляции и посмотрим, как можно здесь применить результаты § 6.1-6.3.