Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.3.4. ОбобщенияЧтобы охватить другие интересные задачи, необходимо сделать ряд обобщений. Рассмотрим их кратко в данном параграфе. Предсказание. В этом случае
где
(см. задачу 6.3.37). Если мы имеем дело с системой, параметры которой постоянны, то
и (422) обращается в
Фильтрация с задержкой. В этом случае Линейные преобразования вектора состояния. Если
то
Заметим, что
Именно этот метод был нами использован в примере Некоторые линейные операции. Во многих случаях полезный сигнал получают путем пропускания Представляют интерес линейные операции трех типов: 1. Операции типа дифференцирования, например
Данное выражение имеет смысл только тогда, когда процесса. Если это условие соблюдается, то всегда можно выбрать
Иначе говоря, линейная фильтрация и реализуемое оценивание не коммутативны. Результат (430) станет очевидным, если мы рассмотрим структуру системы оценки, представленную на рис. 6.51.
Рис. 6.55. Требуемые линейные операции. 2. Несобственные операции. Например, предположим, что
где
В этом случае полезный сигнал является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое есть
и
Таким образом, выходное уравнение содержит дополнительное слагаемое. В общем виде
Из (435) видно, что если преобразовать вектор состояния так, чтобы он содержал как
Уравнение для модифицированного процесса имеет вид
Уравнение наблюдения остается без изменения
Однако нам необходимо переписать его в терминах модифицированного вектора состояния
где
Теперь
(В качестве простого примера см. задачу 6.3.41.) 3. Собственная операция. В этом случае импульсная реакция
Рис. 6.56. Линейная фильтрация перед передачей. Линейная фильтрация перед передачей. В этом случае сообщение перед передачей пропускают через линейный фильтр, как показано на рис. 6.56. Все замечания, относящиеся к предыдущему случаю, можно применять и здесь, если сделать очевидную модификацию Например, если линейная фильтрация является несобственной операцией, то можно записать
Тогда модифицированный вектор состояния будет иметь вид
Уравнение модифицированного процесса записывается в виде
При этом уравнение наблюдения переходит в следующее:
Для двух последних случаев модифицированный вектор состояния является ключом к решению задачи. Корреляция между u(t) и w(t). На практике встречаются случаи, когда векторный процесс белого шума
В случае коррелированных
необходимо модифицировать. На основании свойства 3А-V и определения
Умножением на
Теперь из векторного уравнения Винера-Хопфа следует, что
Используя (451) в (450), получим
Первое слагаемое (452) непрерывно, а второе в пределе равно нулю, поскольку равно нулю
Используя свойство 13 (стр. 606), получим
где
Тогда
Последнее, что нам остается, — это модифицировать дисперсионное уравнение. Из (328) видно, что нам необходимо вычислить математическое ожидание
Для этого введем новую возбуждающую функцию, воспроизводящую белый шум,
Тогда
или
Используя свойство 13 (стр. 606), будем иметь
Подстановкой в дисперсионное уравнение (327) получим
Если для
что и является требуемым результатом. Сравнивая (463) с обычным дисперсионным уравнением (341), нетрудно заметить, что полученная структура является точно такой же. Коррелированный шум оказывает такое же влияние, как изменение
и
то (341) можно использовать непосредственно. Заметим, что структура данного фильтра совпадает со структурой фильтра в случае отсутствия корреляции; меняется только зависимость от времени коэффициента передачи Случай одного цветного шума. В рассуждениях мы исходили из того, что присутствует ненулевая компонента белого шума. В задаче обнаружения мы встречались со случаями, когда снятие этого допущения приводило к вырожденным испытаниям. Поэтому несмотря на то, что это допущение оправдывается физическими соображениями, целесообразно исследовать случай, когда компонента белого шума отсутствует. Начнем с простого примера. Пример. Процесс генерации сообщения описывается дифференциальным уравнением
Генерация цветного шума описывается дифференциальным уравнением
Процесс наблюдения является суммой этих двух процессов
Здесь отсутствует белый шум. Все наши предыдущие рассуждения в связи с «выбеливающими» (декоррелирующими) фильтрами исходили из того, что посредством некоторой процедуры можно пропустить
где
Теперь мы получили нашу задачу в знакомой форме записи
где
Уравнение состояния имеет вид
Видно, что измерительный шум
так что
Структуру оптимального фильтра нетрудно получить, если использовать уравнение передачи (456) и дисперсионное уравнение (463), выведенные в последнем параграфе. Общий случай является несколько более сложным, но основная идея остается той же (см., например, [43], [41] или задачу 6.3.45). «Чувствительность». Во всех наших рассуждениях мы исходили из того, что матрицы
Корреляционными матрицами являются
с корреляционными матрицами
Действительная ковариационная матрица ошибок определяется тремя матричными уравнениями
где
удовлетворяет знакомому нам линейному уравнению
Видно, что можно сначала решить (487), а затем (485) и (484). Другими словами, эти уравнения связаны только в одном направлении. Решая таким образом и считая, что дисперсионное уравнение для Краткие итоги § 6.3С учетом указанных обобщений формулировка модели в виде фильтра с обратной связью пригодна для решения всех задач, которые только можно решить на основе классической винеровской теории. (Возможным исключением является случай стационарного процесса с нерациональным спектром. Теоретически метод спектрального представления пригоден для нерациональных спектров, если, они удовлетворяют критерию Палея — Винера, но фактическое решение в большинстве интересующих случаев практически выполнять нецелесообразно). Перечислим кратко некоторые преимущества формулировки задачи при помощи переменных состояния. 1. Так как это представление во временной области, то его легко распространить на нестационарные процессы и конечные интервалы времени. 2. Форма решения такова, что его можно реализовать на ЭВМ. Это преимущество не следует недооценивать. Часто, когда поставленная задача достаточно проста и ее можно решить аналитически, наша интуиция оказывается достаточно хорошей, так что оптимальное устройство обработки оказывается лишь немного лучше, чем логически правильно спроектированное, но специализированное устройство обработки. Однако по мере возрастания сложности модели наша интуиция становится все менее надежным путеводителем, и оптимальная схема зачастую играет роль руководства по проектированию устройства обработки. Если мы не в состоянии простым способом получить количественные ответы для оптимального устройства обработки, то это преимущество утрачивается. 3. Третье достоинство не является очевидным из нашего рассмотрения. В оригинальной работе [23] признается и широко используется дуальность задач оценки и автоматического управления. Это позволяет строго доказать многие из полезных результатов методами, заимствованными из области автоматического управления. 4. Другое преимущество метода переменных состояния, которым мы не будем пользоваться в полной мере, заключается в его применимости к задачам, связанным с нелинейными системами. В гл. 2 второго тома мы докажем некоторые результаты, которые могут быть получены этим методом. Разумеется, у этого метода имеются и свои недостатки. К числу наиболее существенных недостатков относятся следующие: 1. Представляется затруднительным получить выражения для ошибки в замкнутой форме, аналогичные (152). 2. В нескольких случаях, как например, в случае нереализуемых фильтров, задачи этим методом решать значительно труднее. Материал данного параграфа служит в качестве введения в вопросы применения метода переменных состояния. Со времени появления оригинальной работы Кальмана и Бьюси в этой области выполнено большое число исследований. Различные аспекты данной задачи и родственные вопросы рассмотрены во многих статьях и книгах. В гл. 2—4 второго тома мы еще раз встретимся с задачами, при решении которых используется метод переменных состояния. Обратимся теперь к задаче амплитудной модуляции и посмотрим, как можно здесь применить результаты § 6.1-6.3.
|
1 |
Оглавление
|