Решение некоторых задач

Решение задачи 6.1.1

Мы видим, что при заданном на интервале является нормальной случайной величиной. Следовательно, чтобы определить ее плотность вероятности, необходимо только найти среднее и дисперсию.

Мы знаем, что оценка по максимуму апостериорной вероятности и оценка по минимуму среднекваратической ошибки равны условному среднему. Из (6.6) и (6.10)

где определяется уравнением

Согласно свойствам 4 и 10

Поэтому

Решение задачи 6.1.4

1. Требуемый сигнал равен а оценка его обозначается через где

Средний квадрат ошибки равен

Дифференцируя по получим

Приравнивая к нулю и решая относительно с, получим

2. Чтобы найти средний квадрат ошибки, подставим (6.3 в (6.2:

3. Подставляя это выражение в (6.1 и (6.3, имеем

Наименьший средний квадрат ошибки равен

4. Этот результат очевиден, если признается тот факт, что если то есть марковский в широком смысле процесс.

С другой стороны, его можно доказать и непосредственно. Пусть будет вторым наблюдением и при этом используется оценка

Можно выбрать и с, чтобы минимизировать наименьший средний квадрат ошиб Если для всех то желаемый результат достигнут (это одновременно необходимое и достаточное условие):

и

Решая относительно получим

где Подставляя

в (6.5, получим

Этим и завершается доказательство.

5. Чтобы потребуем:

Можно положить поскольку речь идет просто об усилении.

Беря логарифм от обеих частей, получим

Чтобы (6.7 соблюдалось, необходимо и достаточно, чтобы был линейной функцией для всех

или

Поскольку является ковариационной функцией, Это завершает доказательство.

Решение задачи 6.2.1

1. По определению

Поскольку является корреляционной функцией действительного процесса, она является действительной четной функцией Поэтому член сот в (6.1 при интегрировании дает нуль:

Видим, что есть действительная четная функция со.

2. При больших со

Так как действительна для всех со, с должно быть действительной величиной.

3. Рассмотрим произведение

Чтобы оно было действительным, потребуем, чтобы

Из этого вытекает, что Это и требовалось доказать. Заметим, что для того чтобы (6.1 было действительным,

Поэтому

При двух корнях нули должны располагаться так, как показано ниже

При четырех корнях Имеем

Аналогичные рассуждения показывают, что диаграмма нулей должна быть симметричной относительно обеих осей.

4. Рассмотрим прохождение через идеальный полосовой фильтр

Среднеквадратическое значение выхода равно которое должно быть положительным.

5. Любой действительный корень числителя должен появляться с четной кратностью, в противном случае при прохождении через корень числитель должен был бы менять знак, что противоречит (4).

6. Если знаменатель имеет действительный корень, то когда мы интегрируем по нему, интеграл становится сингулярным. Однако мы предположили, что является интегрируемым по действительной оси.

7. Допустим, что существует, из чего следует, что При больших

Следовательно, Поскольку четны,

Решение задачи 6.2.2

1. Спектр принимаемого колебания равен

где

Тогда

и

Согласно (6.73)

и

Из (6.77)

Из (6.78)

2. Чтобы вычислить используем (6.106):

3. Когда является нереализуемой, используем (6.119).

Чтобы вычислить используем (6.124):

Последнее выражение сводится к

Отношение к можно получить из (6.1 и (6.2. Можно также построить график, аналогичный рис. 6.15.

Решение задачи 6.2.3

Входной спектр имеет вид

Разлагая на множители, имеем

где

Произведя преобразование, взяв часть для и преобразовав повторно, получим

Среднеквадратическая ошибка равна

2. Задаваясь и сравнивая полученные результаты с результатами, выведенными в задаче 6.2.2, убеждаемся, что они тождественны. Для необходимо найти предел при

где

Аналогично,

что совпадает с выражением, приведенным в основном тексте (заметим, что в условиях задачи соответствует в основном тексте). Когда

3. Для нереализуемых фильтров

При

Когда

Решение задачи 6.2.7

1. Принимаемый спектр имеет вид

где

Взаимно корреляционная функция равна

В области преобразования

Это выражение можно также получить путем подстановки в (6.181). Из (6.1

Используя (6.2 и (6.3, имеем

Тогда

и

Это выражение можно переписать в виде

где

Заметим, что при

2. Среднеквадратическая ошибка равна

Итак,

Это выражение можно переписать в виде

3. Чтобы минимизировать минимизируем величину, обратную второму члену,

Обозначим значение величины в точке минимума через Продифференцировав, найдем, что должно удовлетворять уравнению

Эквивалентно:

Можно показать, что минимум имеет место в точке, соответствующей единственному положительному корню первого множителя. Этот корень равен

Используя (6.8) в (6.6) и упрощая, получим

При больших

Для сравнения этого результата с результатом, полученным без введения предыскажений, можно использовать для больших А. Итак, отношение ошибок становится сколь угодно большим по мере увеличения А. В гл. 2 второго тома будут приведены примеры использования результата этого типа.

4. Это отразится на который будет равен

Передаточная функция оптимального фильтра имеет вид

Заметим, что второй член равен нулю при Следовательно,

Для объяснения этого результата исследуем взаимную корреляцию между входом и выходом оптимального фильтра. Из (6.10

Следовательно, прошлые и настоящие значения не содержат информации о настоящем значении В этом случае наилучшей оценкой является среднее значение которое равно нулю.

Решение задачи 6.2.8

1. Спектр равен

и

Из (6.88)

Из (6.73)

и

Тогда

Используя (6.78), получим

Заметим, что этот результат можно также получить путем предельного пере хода в случае 3 на стр. 567 при

Как и следовало ожидать,

Решение задачи 6.2.43

1. Из условия отсутствия искажений вытекает требование, что

2. Интересующая нас величина равна

Это выражение тождественно выражению

(Скалярная задача винеровской теории фильтрации в § 6.2.1.) Следовательно, решение уравнения (6.1 можно записать без каких-либо выкладок путем элементарного исследования. Из (6.78):

Поэтому в (6.1

и

3. Чтобы показать, что является несмещенной, необходимо только, чтобы Структура системы имеет вид поскольку

Итак, в данной задаче показано, что оценивание при условии, сформулированном в равносильно оцениванию на фоне аддитивного шума Но являются гауссовыми, поэтому эта оценка является эффективной. Следовательно, ввиду эквивалентности задач, оценка дожна быть эффективной.

Решение задачи 6.3.1 Дифференциальное уравнение имеет вид

Нам необходима реализация вида

где

Записав (6.2 в виде системы скалярных уравнений, получим:

Блок-схема системы, соответствующей этой системе уравнений, имеет вид

Если задаться то

Чтобы найти сначала используем последние уравнения (6.3 и (6.4, а затем остальные уравнения (6.4:

Это выражение можно переписать в виде

Сравнивая (6.6 с (6.1, получим требуемый результат:

Решение задачи 6.3.4

1. Используем каноническую реализацию № 2 (стр. 598). Из (6.211):

Дифференцируя, имеем

или

Реализация в форме аналогового вычислителя приведена на рис. 6.30. Уравнение состояния имеет вид

2. Нам необходимы четыре переменные состояния. Подходящим выбором является:

Дифференцируя, имеем

или

или

Реализация в форме аналогового вычислителя показана на рисунке.

Уравнение состояния имеет вид

Решение задачи 6.3.7

1. Поскольку -постоянная, можно использовать (6.247) и (6.248) для отыскания

где

Решение задачи 6.3.9

Передаточная функция имеет вид

где через А обозначена матрица, сопряженная Поэтому полюсы функции являются нулями функции Последние суть просто собственные значения

Решение задачи 6.3.12

1. Спектр процесса в канале перемножителя имеет вид

Этот процесс можно генерировать путем пропускания белого шума через простой фильтр.

Входной процесс имеет спектральную плотность Дифференциальное уравнение имеет вид

Вектор состояния для всего канала равен

где

Входной вектор равен

Уравнение состояния имеет вид

где

Принятый сигнал равен

где

5. Если коэффициенты передачи каналов коррелйрдваны, то будет имеь недиагональные элементы.

Решение задачи 6.3.16 Из (6.257):

Ковариационная функция имеет вид

где

Используя (6.1 в (6.3, получим

Теперь

так как и является белым шумом. Следовательно, интеграл в (6.4) равен нулю. Поэтому

и

что и является требуемым результатом. Значение для вытекает из симметрии матрицы ковариационных функций

Решение задачи 6.3.23

1. Дисперсионное уравнение имеет вид

Из примера 1 (§ 6.3.3, стр. 620):

где

2. В стационарном состоянии

Поскольку рассматривается стационарный режим, фильтр Кальмана-Быоси является винеровским фильтром

3. Выход винеровского фильтра равен Из (6.4:

4. Ошибка равна

Дифференцируя, имеем

Используя (6.3 и (6.5, получим

Поэтому

с начальным условием

5. Среднеквадратическая ошибка равна

Используя свойство 13, выражение (6.266), имеем

Следовательно,

или

с начальным условием

Решение (6.7 имеет вид

где

Таким образом,

Используя (6.2 в (6.8, получим

6. Переписав (6.1 в более удобной форме и использовав (6.9, имеем

где мы положили

Этот результат можно представить графически для .

Решение задачи 6.3.27

1. Состояние представлено в виде:

Уравнение состояния имеет вид

Из рис. 6.46 оптимальный фильтр в статистически стационарном состоянии имеет структуру:

2. Дисперсионное уравнение стационарного состояния имеет вид

Переписав (6.1 в виде системы скалярных уравнений, получим

Решения, требуемые для данного фильтра, имеют форму

Оптимальный фильтр сводится к следующей структуре:

3. Чтобы синтезировать винеровский фильтр, положим

Из (6.175) оптимальный фильтр при реализации по схеме с обратной связью имеет вид

или

Для разложения на множители разобьем полюсы на оси

Разлагая на множители, получим

Этот результат соответствует фильтру, изображенному на рисунке п. 2.

Решение задачи 6.3.32

1. Принимаемое колебание равно

Для оценки по наибольшей апостериорной вероятности можно использовать ражение (4.103):

где Это выражениесводится к

Проинтегрировав и перегруппировав члены, имеем

2.. Поскольку модуляция линейная и параметр имеет нормальное распределение, оценка по наименьшему среднему квадрату ошибки и оценка по наибольшей апостериорной вероятности совпадают. Заметим, что эта оценка является эффективной, поэтому наименьший средний квадрат ошибки легко получается из граничного выражения Крамера — Рао. Используя (4.110), получим

Решение задачи 6.3.37

1. Уравнение состояния имеет вид

Полезный сигнал равен

Нам известно, что оценка по минимуму среднеквадратической ошибки равна условному среднему сигнала при условии, что результат наблюдения определен на интервале Таким образом,

где использовано (6.2. Последний член равен нулю, так как области являются непересекающимися, а - белый шум. В одной точке математическое ожидание имеет конечное значение, но интеграл равен нулю. Следовательно,

что и требовалось получить.

2. Ковариационная матрица ошибок имеет вид

Используя (6.2 и (6.4, имеем

Использовав (6.6 в (6.5 и вспомнив, что ошибка при использовании оптимального устройства обработки некоррелирована со входом, имеем

Это выражение сводится к

Для системы с постоянными во времени параметрами (6.7 сводится к

При а последнее выражение стремится к Этот результат ожидался интуитивно.

Решение задачи 6.3.43

1. Эта задача выходит за рамки классификации, рассмотренной на стр. 638-641,, так как требуемую линейную операцию нельзя представить посредством переменных состояния.

2. Требуемая операция записывается в виде

где вектор состояния, упомянутый в задаче 6.3.41. Используя (6.257), получим

Оценка по наименьшему среднему квадрату ошибки равна условному среднему сигнала при условии, что результат наблюдения определен на интервале Таким образом,

Математическое ожидание во втором члене равно нулю, так как указанные интервалы являются непересекающимися, а белый шум. Математическое

ожидание в первой члене есть просто реализуемая оценка в концевой точке интервала наблюдения, которую обозначим через Следовательно,

3. Решение по является простым, так как область требуемой линейной операции не пересекается с интервалом наблюдения.

Решение задачи 6.3.44

1. Заметим, что мы должны иметь как так и в качестве компонентов вектора состояния. Одной из реализаций является следующая структура:

Вектор состояния имеет вид

Уравнение состояния имеет вид где

где

Матрица наблюдений равна

Уравнение оценки записывается в виде

и

2. Дисперсионное уравнение стационарного состояния можно записать в виде трех скалярных алгебраических уравнений:

Как и следовало ожидать, первое уравнение можно решить независимо. (Это всего лишь пример 1 на стр. 621.)

Решая второе уравнение, получим

Эти два члена определяют оптимальный фильтр. Наименьший средний квадрат ошибки при оценивании сообщения равен

Используя (6.7, (6.8 можно записать в виде

где

и

Мы можем минимизировать путем выбора с целью максимизации второго члена. Это простой пример задачи на расчет оптимальных предыскажений.

Заметим, что есть просто нормированная среднеквадратическая ошибка, которая была получена в п. 2 задачи 6.2.7 при использовании методов винеровской теории фильтрации [см. (6.6.]. Следовательно, выполненная в п. 3 оптимизация справедлива и здесь.

Литература

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Условные обозначения, сокращения, символы

Условные обозначения

(см. скан)

(см. скан)

Сокращения

(см. скан)

Символы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)