3.3.3. Гауссовы процессы

Вернемся к вопросу о целесообразном полном определении случайного процесса. Ограничимся рассмотрением гауссовых случайных процессов. Для отыскания требуемого определения вспомним, каким образом мы определили совместно нормальные величины в § 2.6. Утверждаем, что случайные величины являются совместно гауссовыми, если

есть гауссова случайная величина для любого множества было конечным и требовалось, чтобы также было конечным. Если счетное сконечное, то мы требуем, чтобы было таким, что В случайном процессе вместо линейного преобразования над множеством случайных величин мы интересуемся линейным функционалом случайной функции. Это предполагает следующее определение.

Определение. Пусть есть случайный процесс, определенный на некотором интервале со средним значением и ковариационной функцией Если каждый линейный функционал от есть гауссова случайная величина, то является гауссовым случайным процессом. Другими словами, если

и — какая угодно функция, удовлетворяющая условию то для того, чтобы был гауссовым случайным процессом, у должно быть гауссовой случайной величиной для каждого в указанном выше классе.

Из этого определения непосредственно вытекает несколько свойств.

Свойство 1. Выходная величина линейной системы есть интересующий нас заданный линейный функционал. Обозначим импульсную реакцию — выходную величину в момент времени обусловленную воздействием на вход единичного импульса в момент времени и через Если входная величина равна и является выборочной функцией гауссова случайного процесса, то выходная величина также является выборочной функцией гауссова случайного процесса.

Доказательство:

Интервал есть просто область, на которой определена функция Предполагается, что такова, что при всех в интервале Из определения следует, что есть нормальная случайная величина. Чтобы показать, что есть нормальный случайный процесс, мы должны доказать, что любой его линейный функционал есть нормальная случайная величина. Таким образом,

или

должно быть нормальным для всех [таких, что Интегрируя по и обозначая результат через

имеем функционал

который является нормальным по определению.

Итак, мы показали, что если на входе линейной системы имеется нормальный случайный процесс, то и на выходе ее будет нормальный случайный процесс.

Свойство 2. Если

и

где есть нормальный случайный процесс, то -совместно-нормальные случайные процессы. (Доказательство очевидно в свете

Свойство 3. Если

и

где ортонормированные собственные функции уравнения (46) [теперь интересующий нас интервал равен вместо то статистически независимые нормальные случайные величины.

Таким образом,

где

Это сеойство вытекает из свойства 2 и (45).

Свойство 4. Для любого множества моментов времени в интервале случайные величины совместно-нормальные случайные величины.

Доказательство. Если обозначить случайные величины через вектор

среднее значение которого равно

то совместная плотность вероятности будет равна

а совместная характеристическая функция есть

где ковариационная матрица случайных величин [Предполагается, что - невырожденная (несингулярная).] Ее элемент есть

Это свойство доказывается, если воспользоваться функцией

в (58), а затем результат подставить в (57).

Итак, видно, что наше определение обладает требуемым свойством, указанным в § 3.3.1, так как оно однозначно определяет совместную плотность для любого множества моментов времени. Свойство 4 часто используется как основное определение. Недостаток такого подхода заключается в том, что труднее доказать, что наше определение и свойства 1—3 вытекают из (72), чем наоборот.

Нормальный процесс, который нами определен, обладает двумя главными достоинствами.

1. Для физических явлений, порождающих многие процессы, подходящей является модель нормального (гауссова) случайного процесса.

2. Нормальный процесс обладает многими свойствами, которые делают аналитические результаты более прозрачными.

Обсуждение физических явлений, логически приводящих к нормальным процессам, можно найти в [7 и 8]. Другие свойства нормального процесса, которые не являются необходимыми для изложения основных вопросов, рассмотрены в задачах вне основного текста (см. задачи

Мы будем встречаться с несколькими процессами, которые являются совместно-нормальными. Их определение непосредственно следует из предыдущего определения.

Определение. Пусть — множество случайных процессов, определенных на интервалах соответственно. Если любая сумма произвольных функционалов от есть нормальная случайная величина, то процессы являются совместно-нормальными. Другими словами, сумма

должна быть нормальной для любого множества такого, что

Прочие свойства совместно-нормальных процессов обсуждаются при изложении задач.

Важность свойства 3 объясняет наше особое внимание к разложению Карунена — Лоэва. Оно позволяет характеризовать нормальный процесс при помощи счетного бесконечного множества статистически независимых нормальных случайных величин. Значение этого будет, по-видимому, наилучшим образом оценено, когда мы увидим, насколько облегчается решение многих задач. Заметим, что если бы мы предпочли уделить основное внимание марковским процессам, то метод задания процесса разложением в ортогональный ряд оказался бы не особенно полезным. В § 6.3 мы обсудим представление, посредством которого особо выделяется структура марковского процесса.

Разложение Карунена — Лоэва полезно с двух точек зрения: 1. Во многих наших теоретических построениях оно используется в качестве математического инструмента. В большинстве этих случаев собственные функции и собственные значения не входят в окончательной результат. Интегральное уравнение (46), которым они определяются, решать никогда не приходится.

2. В других случаях результат требует точного решения для одной или нескольких собственных функций и собственных значений. Здесь необходимо точно решать это уравнение или находить решения, являющиеся хорошими приближениями.

В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые полезные примеры, в которых могут быть получены решения.