Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.3.3. Гауссовы процессыВернемся к вопросу о целесообразном полном определении случайного процесса. Ограничимся рассмотрением гауссовых случайных процессов. Для отыскания требуемого определения вспомним, каким образом мы определили совместно нормальные величины в § 2.6. Утверждаем, что случайные величины
есть гауссова случайная величина для любого множества Определение. Пусть
и Из этого определения непосредственно вытекает несколько свойств. Свойство 1. Выходная величина линейной системы есть интересующий нас заданный линейный функционал. Обозначим импульсную реакцию — выходную величину в момент времени Доказательство:
Интервал
или
должно быть нормальным для всех
имеем функционал
который является нормальным по определению. Итак, мы показали, что если на входе линейной системы имеется нормальный случайный процесс, то и на выходе ее будет нормальный случайный процесс. Свойство 2. Если
и
где Свойство 3. Если
и
где Таким образом,
где
Это сеойство вытекает из свойства 2 и (45). Свойство 4. Для любого множества моментов времени Доказательство. Если обозначить случайные величины через вектор
среднее значение которого равно
то совместная плотность вероятности будет равна
а совместная характеристическая функция есть
где
Это свойство доказывается, если воспользоваться функцией
в (58), а затем результат подставить в (57). Итак, видно, что наше определение обладает требуемым свойством, указанным в § 3.3.1, так как оно однозначно определяет совместную плотность для любого множества моментов времени. Свойство 4 часто используется как основное определение. Недостаток такого подхода заключается в том, что труднее доказать, что наше определение и свойства 1—3 вытекают из (72), чем наоборот. Нормальный процесс, который нами определен, обладает двумя главными достоинствами. 1. Для физических явлений, порождающих многие процессы, подходящей является модель нормального (гауссова) случайного процесса. 2. Нормальный процесс обладает многими свойствами, которые делают аналитические результаты более прозрачными. Обсуждение физических явлений, логически приводящих к нормальным процессам, можно найти в [7 и 8]. Другие свойства нормального процесса, которые не являются необходимыми для изложения основных вопросов, рассмотрены в задачах вне основного текста (см. задачи Мы будем встречаться с несколькими процессами, которые являются совместно-нормальными. Их определение непосредственно следует из предыдущего определения. Определение. Пусть
должна быть нормальной для любого множества
Важность свойства 3 объясняет наше особое внимание к разложению Карунена — Лоэва. Оно позволяет характеризовать нормальный процесс при помощи счетного бесконечного множества статистически независимых нормальных случайных величин. Значение этого будет, по-видимому, наилучшим образом оценено, когда мы увидим, насколько облегчается решение многих задач. Заметим, что если бы мы предпочли уделить основное внимание марковским процессам, то метод задания процесса разложением в ортогональный ряд оказался бы не особенно полезным. В § 6.3 мы обсудим представление, посредством которого особо выделяется структура марковского процесса. Разложение Карунена — Лоэва полезно с двух точек зрения: 1. Во многих наших теоретических построениях оно используется в качестве математического инструмента. В большинстве этих случаев собственные функции и собственные значения не входят в окончательной результат. Интегральное уравнение (46), которым они определяются, решать никогда не приходится. 2. В других случаях результат требует точного решения для одной или нескольких собственных функций и собственных значений. Здесь необходимо точно решать это уравнение или находить решения, являющиеся хорошими приближениями. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые полезные примеры, в которых могут быть получены решения.
|
1 |
Оглавление
|