4.4. Сигналы с нежелательными параметрами: испытание сложных гипотез
До сих пор в гл. 4 мы исходили из предположения, что интересующие нас сигналы полностью известны. Единственным источником неопределенности был аддитивный шум. Как было указано в начале этой главы, во многих представляющих интерес физических проблемах это допущение нереалистично. Один пример подобного рода встречается в радиолокационной задаче. Передаваемый сигнал представляет
собой высокочастотный импульс, который приобретает при отражении от цели случайный фазовый угол (а возможно, и случайную амплитуду). Другой пример встречается в задачах из области связи, когда имеется неопределенность фазы генератора. Обе задачи характеризуются наличием нежелательного параметра.
Нежелательные параметры появляются как в задачах обнаружения, так и в задачах оценки. Ввиду внутреннего сходства между этими задачами пока достаточно ограничиться изложением задачи обнаружения. В этом случае сигналы при двух гипотезах можно записать в виде
Вектор 0 соответствует нежелательному векторному параметру. Функции
являются условно детерминированными (т. е., если бы значение 0 было известно, то значения
были бы известны при всех
на интервале наблюдения). Нетрудно видеть, что эта задача есть просто аналог классической задачи проверки сложных гипотез, рассмотренной в § 2.5. Там указывалось, что возможны ситуации трех типов.
1.
— случайная величина с известной априорной плотностью;
2.
— случайная величина с неизвестной априорной плотностью;
3.
— неслучайная величина.
Ограничимся здесь рассмотрением только первой ситуации. В конце этого параграфа будут кратко обсуждены остальные две ситуации. Внимание к первой ситуации объясняется тем, что две физические задачи, наиболее часто встречающиеся на практике, можно моделировать при помощи первого случая. Они подробно будут рассмотрены в § 4.4.1 и 4.4.2 соответственно.
Метод решения задач первой категории прямо ведет к цели. Выберем конечное множество наблюдаемых величин и обозначим их
-мерным вектором
Построим отношение правдоподобия и затем положим
Единственным новым моментом здесь является отыскание
в присутствии 0. Если бы 0 было известно, то тогда задача была бы знакомой. Поэтому очевидный подход к ее решению — это написать
и
Подстановка (351) и (352) в (350) дает отношение правдоподобия. Возможность реализации данной процедуры зависит от формы подлежащих интегрированию функций. В следующих двух параграфах будут рассмотрены две физические проблемы, в которых эта процедура ведет к результатам, допускающим весьма простую интерпретацию.