4.3.3. Непосредственный вывод на основе достаточной статистики
Для удобства интересующую нас задачу обнаружения (140) перепишем в виде
В этом параграфе не будем требовать, чтобы шум содержал белую компоненту.
Из материалов гл. 2 и § 2. 4 известно, что если можно записать
где 
— случайная величина, полученная посредством операции над 
и показать, что
а) 
- статически независимы по обеим гипотезам,
б) статистика 
не зависит от того, какая из гипотез справедлива, то 
является достаточной статистикой. Далее можно основывать наше решение исключительно на 
на считаясь с 
[Заметим, что
условия а) и б) являются достаточными, но не необходимыми для того, чтобы 
была достаточной статистикой (см. стр. 48—49)].
Для этого предположим, что 
можно получить посредством операции
и попытаемся найти функцию 
которая обладала бы требуемыми свойствами. Используя (185), можно переписать (184) в виде
где
и
Поскольку достаточную статистику можно умножить на любую постоянную величину, отличную от нуля, с сохранением достаточности, можно ввести ограничение
Используя (189а) в (187), будем иметь
Очевидно, что 
случайная величина с нулевым средним и
Это придает задаче удобную форму; остается только найти условие, которому должна удовлетворять 
чтобы
или, что эквивалентно,
или
Используя (188), получим
Уравнения 
и (194) будут удовлетворяться, если
[Нужно подставить (195) в правую часть (194) и использовать (189а).] Достаточная статистика 
получается посредством коррелирования 
После получения 
мы используем ее для построения критерия отношения правдоподобия, с тем чтобы решить, какая из гипотез является истинной.
Заметим, что (195) выполняется на закрытом интервале 
тогда как (169а) выполняется на открытом интервале 
Это различиеобъясняется тем, что в отсутствии белого шума 
может иметь сингулярности на концах интервала. Эти сингулярности изменяют отношение правдоподобия, поэтому нельзя произвольно выбирать значения на концах интервала. Преимущество последнего нашего вывода заключается в том, что он правильно учитывает условия на концах интервала. Следует также отметить, что если имеется компонента белого шума, то (195) и (199а) дадут для 
различные значения. Однако, поскольку оба множества значений являются конечными, то отношение правдоподобия остается тем же.
В последних двух параграфах были изложены два различных вывода структуры оптимального приемника. Известны и другие выводы (математически подготовленный читатель может обратиться к [40], [41], [43] или [45]). Вернемся теперь к вопросам, обсуждение которых было прервано нами на стр. 339.
