4.7. Краткие итоги главы 4 и нерассмотренные вопросы

4.7.1. Краткие итоги главы

В этой главе был рассмотрен широкий круг проблем. Центральным моментом, который связывает их изложение воедино, является вопрос об аддитивной компоненте белого гауссова шума. Используя его в качестве исходного, мы рассмотрели задачи различного типа,

исследовали их решения, а также смысл и значение последних. Формальное решение оказалось самой легкой частью проблемы; уяснению значения полученных результатов была посвящена большая часть наших усилий. Подводя итоги, целесообразно остановиться на некоторых результатах общего характера.

Простейшей задачей обнаружения является задача бинарного обнаружения на фоне белого гауссова шума. Оптимальный приемник для этого случая может быть реализован в виде согласованного фильтра или корреляционного приемника. Достоверность обнаружения зависит от нормированного расстояния между двумя сигнальными точками в пространстве решений. Это расстояние характеризуется энергиями сигналов, их коэффициентом корреляции и спектральной плотностью аддитивного шума. При одинаковых энергиях сигналов оптимальный коэффициент корреляции равен —1. Во всех случаях форма сигнала не имеет значения. Достоверность обнаружения практически не зависит от допущений, касающихся подробностей выбранной модели.

На основе результатов бинарной задачи легко получить решение многоальтернативной задачи для сигналов. Структура приемника содержит не более согласованных фильтров или корреляторов. За исключением нескольких частных случаев, вычисление достоверности обнаружения при произвольных распределениях стоимостей и априорных вероятностей весьма громоздко. Поэтому основное внимание было обращено на достижение минимальной вероятности ошибочных решений. Для произвольных систем сигналов вычисление вероятности ошибки оказывается весьма утомительным. Для ортогональных и неортогональных равнокоррелированных сигналов могут быть найдены простые выражения для вероятностей ошибок и вычислены численными методами. Были также выведены простые выражения для границ вероятности ошибки, полезные при определенных пределах изменения значений параметра. Вопрос об оптимальной системе сигналов был кратко обсужден в основном тексте и несколько более подробно — при рассмотрении задач. Было установлено, что при больших ортогональные сигналы являются практически оптимальными.

Простая задача обнаружения была затем обобщена путем допущения небелой аддитивной гауссовой компоненты шума. Это обобщение охватывает также и известные линейные каналы. Формальное распространение результатов бинарной задачи методом «выбеливания» или введения соответствующей системы доступных наблюдению координат не встречает каких-либо затруднений. При исследовании полученного результата был разработан ряд вопросов, которые ранее нам не встречались. Включением в выбранную модель ненулевой компоненты белого шума обеспечивается гарантия того, что согласованный фильтр будет иметь интегрируемую в квадрате импульсную характеристику и что идеальноеили сингулярное обнаружение будет невозможно. Выработанный в конечном итоге критерий является устойчивым, однако его чувствительность зависит от уровня белого шума. В присутствии компоненты белого шума достоверность обнаружения всегда можно улучшить путем удлинения интервала наблюдения.

В радиолокации такой путь легко реализуем ввиду относительно большого интервала времени между соседними импульсами. Далее было исследовано влияние изъятия из модели компоненты белого шума и показано, что если не ввести дополнительные ограничения на «гладкость» формы сигнала, выбранная математическая модель может привести к вырожденным или неустойчивым испытаниям (критериям).

Далее был сделан переход к следующей ступени обобщения, а именно, чтобы допускались некоторые неопределенности сигнала даже в отсутствие шума. Для случая, когда эти неопределенности можно параметрически представить случайными величинами с известными плотностями, отыскание необходимой процедуры не вызывает трудностей. Подробно был рассмотрен случай, когда фаза случайна, а также случай, когда случайны и амплитуда и фаза. В задаче со случайной фазой было введено понятие простой системы оценки, которая измеряет фазовый угол и использует результаты измерения в обнаружителе. Это дает нам метод перехода от случая известного сигнала к таким ситуациям, как например, в радиолокации, когда фаза имеет равномерное распределение. Для бинарных сигналов было установлено, что оптимальная система сигналов зависит от качества измерения фазы. Как и следовало ожидать, значения оптимального коэффициента корреляции лежат в пределах от для идеального измерения до при равномерном распределении.

Случай, когда случайны амплитуда и фаза, позволяет моделировать ряд линий связи, которым свойственны релеевские или райсовские замирания. Применительно к этому случаю были исследованы приемники, в которых не используются измерения фазы, и приемники с идеальным измерением. Было установлено, что идеальное измерение позволяет получить выигрыш в 6 дб. Однако даже при идеальном измерении из-за наличия замираний в канале закон уменьшения вероятности ошибки при увеличении отношения носит линейный, а не экспоненциальный характер.

Далее были рассмотрены многоканальные системы (разнесенный прием). Векторное разложение Карунена — Лоэва позволило нам легко получить критерий отношения правдоподобия. За исключением одного простого примера подробное обсуждение векторных систем было отложено до последующих глав.

Основные идеи при рассмотрении задачи оценки аналогичны, да и вся формулировка задачи при помощи функции правдоподобия носит тождественный характер. Синтезируемые для линейной оценки структуры приемников тождественны структурам, получаемым в простой бинарной задаче. Средний квадрат ошибки при оценивании на фоне белого шума зависит только от отношения

Задача нелинейной оценки связана с рядом вопросов. Первая трудность заключается в том, что не существует достаточной статистики, а это означает, что отображение из пространства наблюдения в пространство оценок зависит от самого оцениваемого параметра. В некоторых случаях это затруднение можно легко преодолеть, в других приходится прибегать к методам приближений. Результирующая функция в пространстве оценок имеет ряд локальных максимумов, ввиду чего

приходится выбирать абсолютный максимум. При условии, что точка выбрана вблизи истинного максимума, вычисление среднего квадрата ошибки не вызывает затруднений. Ошибку можно значительно уменьшить по сравнению с ошибкой при линейной оценке выбором соответствующего метода модуляции. Однако при попытке уменьшить ошибку до чрезвычайно низкого уровня обнаруживается новое явление, именуемое порогом. При последовательном приближении к оптимальному устройству оценки физическая трактовка явления порога довольно прозрачна. Первый каскад выбирает ошибочный интервал, на котором производится локальная оценка. В случае непрерывной реализации (например, при оценке дальности) механизм порога ясен, однако количественное описание этого явления является более сложным. Поскольку действительный уровень порога зависит от структуры сигнала, количественные результаты, полученные для того или иного конкретного примера, менее существенны, чем уяснение того обстоятельства, что раз мы достигаем уменьшения ошибки без увеличения энергии сигнала или уменьшения уровня шума, то явление порога будет наблюдаться при некотором значении отношения сигнал/шум.

Последней из числа рассмотренных в гл. 4 задач была задача оценки нескольких параметров. В нашем изложении она служит одновременно и как завершающий момент в обсуждении оценок параметров сигналов, и как отправной пункт для рассмотрения задачи оценки сигналов. Здесь были получены полезные соотношения, показывающие, как через структуру сигнала и априорные плотности вероятности возникает связь между ошибками оценивания.

Помимо подведения итогов по вопросам, охваченным в гл. 4, не менее важно указать некоторые связанные с ними вопросы, которые не рассматривались.

4.7.2. Нерассмотренные вопросы

Цифровая связь. Мы изложили значительное количество исходных сведений и основных положений, необходимых для изучения современных цифровых систем. Однако, за исключением нескольких случаев, рассматривалась лишь передача одноразрядного цифрового сигнала. (В литературе эта задача часто называется задачей передачи одиночного импульса.) Из простого примера § 4.2 ясно, что достоверность обнаружения можно повышать путем передачи и обнаружения блоков цифр (многоразрядных последовательностей). Исследование эффективных методов передачи цифровой информации является одной из центральных проблем теории кодирования. Соответствующие материалы по этому вопросу можно найти в [66, 18]. Данное замечание не означает, что во всех цифровых системах связи целесообразно применять кодирование, но имеет в виду, что кодирование всегда необходимо рассматривать как одну из возможных альтернатив при проектировании всей системы связи в целом.

Негауссовы помехи. Вполне очевидно, что во многих прикладных вопросах основным видом помех являются негауссовы помехи.

Простыми примерами служат различные промышленные помехи на низких частотах, импульсные помехи, шумы Галактики, помехи от Солнца, атмосферные помехи и др.

То обстоятельство, что случай негауссовой помехи при изложении был опущен, объясняется не отсутствием к нему интереса или недооценкой его важности. Не объясняется это и нашей неспособностью решить ту или иную конкретную негауссову задачу. Представляется вероятным, что если мы можем адекватно смоделировать или измерить соответствующую статистику, то приемник, близкий к оптимальному, может быть синтезирован (см., например, [67, 68]). Причина заключается в том, что чрезвычайно трудно получить полезные результаты, которые были бы одновременно достаточно общими.

При рассмотрении негауссовой задачи мы преследуем довольно скромную цель. Во-первых, помочь читателю осознать, что в любой данной ситуации нам необходимо проверить, не проходит ли гауссова модель — либо как вполне справедливая, либо в качестве достаточного приближения для получения полезных результатов. Во-вторых, если гауссова модель не проходит, то нам не следует отказываться от попыток решить актуальную задачу (хотя бы и приближенно) и цепляться за гауссово решение ввиду его точности.

В этой главе мы занимались решением задач обнаружения сигналов и оценки конечного числа их параметров. Теперь мы обратимся к оценкам непрерывных сигналов.

4.8. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)