Главная > Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.4.2. Случайные амплитуда и фаза

Как указывалось в § 4.1, существуют случаи, когда изменяются и амплитуда, и фаза принимаемого сигнала. В области связи такая ситуация встречается в линиях, использующих ионосферный механизм распространения и работающих на частотах выше МПЧ (см., например, [51]) и на некоторых линиях тропосферного рассеяния (см., например, [52]). В области радиолокации она возникает, когда ракурс цели или ее эффективное радиолокационное поперечное сечение изменяется от импульса к импульсу (см., например, [53]).

Рис. 4.64. Узкополосный процесс на выходе канала и распределение его огибающей.

Экспериментальные результаты для ряда физических проблем указывают на то, что когда на входе системы действует синусоидальный сигнал на ее выходе (в отсутствие аддитивного шума) имеется сигнал

Такой сигнал представлен на рис. 4.64, а. Огибающая и фаза изменяются непрерывно. Огибающая имеет релеевское распределение, представленное на рис. 4.64, б. Фазовый угол распределен равномерно — с постоянной плотностью.

Существует несколько способов моделирования подобного канала. Простейший метод заключается в замещении реальных функций канала кусочно-линейными функциями, причем в пределах каждого отрезка прямой аппроксимирующая функция остается постоянной (рис. 4.65). Такое приближение будет справедливым, когда параметры канала в течение интервала времени секунд меняются не существенно. При такой модели «с медленными замирариями» возможны два метода обработки. Можно обрабатывать сигнал на каждом интервале независимо или, учитывая непрерывность канала, измерять его параметры и использовать результаты измерений в приемнике. Исследуем пока первый вариант.

Для простой бинарной задачи обнаружения на фоне аддитивного белого гауссова шума сигнал по обеим гипотезам можно записать так

где у — случайная величина, распределенная по Релею, а - равномерно распределенная случайная величина.

Рис. 4.65. Кусочная аппроксимация отрезками прямых (постоянными функциями): а - действительная огибающая; б - кусочно-линейная модель.

Сигнальную компоненту можно также записать и через ее квадратурные составляющие

где независимые нормальные случайные величины с нулевыми средними и с дисперсией см. [2] стр. 188). Заметим также, что два члена в (398) ортогональны. Таким образом, сигнал на рыходе канала с релеевскими замираниями можно рассматривать как сумму двух ортогональных сигналов, каждый из которых умножается на независимую нормальную случайную величину. Такой подход к рассмотрению задачи представляется более простым. Фактически, столь же легко решается и более общая задача, в которой принятое колебание по гипотезе равно

где независимые нормальные величины с распределениями

Отношение правдоподобия равно

Полагая

используя ортогональность сигналов и дополняя до полного квадрата в каждом из интегралов, найдем, что испытание сводится к

Соответствующие выражению (403) две блок-схемы приемника, показанные на рис. 4.66, обычно называют соответственно корреляционным приемником с квадратичным детектором и фильтровым приемником с квадратичным детектором.

Выражение (403) можно переписать в виде

Структуру, показанную на рис. 4.67, можно интерпретировать как приемник типа «устройство оценки — коррелятор» (т. е. производится вычисление корреляции колебания с оценкой принятого сигнала). Отождествление выражения, стоящего в скобках, с вытекает из нашего обсуждения процедуры оценки в § 4.2. Она одновременно является оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки и оценкой по максимуму апостериорной вероятности. На рис. 4.67, а показана практическая реализация приемника. Реализация рис. 4.67, б

показывает, что оценку сигнальной компоненты можно было бы фактически получить как колебание на выходе оптимального приемника. Такая интерпретация является довольно важной для последующих приложений.

Рис. 4.66. Приемники для сигналов с нормальным распределением амплитуд: а — корреляционный приемник с квадратичным детектором; б - фильтровой приемник с квадратичным детектором. КВ - устройство возведения в квадрат.

Применим теперь полученные результаты к исходной задаче (397). Если сопоставить с то станет очевидным, что приемник реализует критерий

(где были определены в примере со случайной фазой). Этот алгоритм можно реализовать, как показано в предыдущем параграфе, при помощи узкополосного согласованного фильтра и включенного последовательно с ним детектора огибающей. Другие возможные реализации приемника показаны на рис. 4.68, а, б.

Далее необходимо оценить качество оценки. Заметим, что являются нормальными случайными величинами с одинаковыми распределениями. Поэтому релеевский канал соответствует точно примеру 2 на стр. 52 гл. 2. Там было показано, что [см. (2.80)]

(кликните для просмотра скана)

где дисперсия с по гипотезе дисперсия с по гипотезе Из рис. 4.68, а видно, что

и

где средняя энергия принятого сигнала. Подставив (406) и (407) в (2.80), получим

Рабочая характеристика приемника приведена на рис. 4.69.

Рис. 4.69. а — рабочая характеристика приемника для релеевского канала; б — вероятность обнаружения в зависимости от

Решение аналогичной бинарной задачи из области связи для произвольных сигналов получается сходным образом (см., например [55 и 56]). Рассмотрим кратко типичную систему. Напомним, что фазовый угол имеет равномерное распределение. Из результатов предыдущего параграфа (рис. 4.62 и 4.63) следует ожидать, что ортогональные сигналы должны быть оптимальными. Обсудим кратко простую систему ЧТ, использующую ортогональные сигналы. Принимаемые сигналы по двум гипотезам можно записать в виде

Частоты разнесены настолько, что сигналы ортогональны. В предположении равных априорных вероятностей и критерия

минимальной вероятности ошибки Критерий отношения правдоподобия следует немедленно (см. задачу 4.4.24)

Соответствующая структура приемника показана на рис. 4.70. Вероятность ошибки можно оценить аналитически (см. задачу 4.4.24):

На рис. 4.71 построена зависимость от Здесь же для сравнения показана также для случая известного сигнала и случая равновероятной фазы. Видно, что в обоих случаях, соответствующих отсутствию замираний, вероятность ошибки спадает экспоненциально при больших тогда как в случае с замираниями она спадает линейно. Интуитивно это и понятно. Независимо от того, насколько большой становится средняя энергия принятого сигнала, во время глубокого замирания вероятность ошибки равна или почти равна 0,5. Несмотря на то, что это происходит не часто, наличие глубоких замираний не позволяет вероятности ошибки уменьшаться экспоненциально.

Рис. 4.70. Оптимальный приемник бинарной системы связи, использующей ортогональные сигналы.

В гл. 3 второго тома будет показано, что путем использования разнесения (например, передавая сигнал по нескольким независимым релеевским каналам параллельно) можно достигнуть экспоненциального уменьшения вероятности ошибки.

Как уже указывалось, другой подход к данной проблеме заключается в измерении характеристик канала и использовании результатов измерения в структуре приемника. Можно легко получить оценку возможного выигрыша в предположении, что измерения канала производятся идеально. Если измерение идеально, можно использовать

когерентный приемник. Получающуюся вероятность ошибки оценить нетрудно. Сначала запишем условную вероятность ошибки, зависящую от того, что переменный параметр канала равен Затем необходимо усреднить результат с релеевской плотностью (рис. 4.64, б).

Рис. 4.71. Вероятность ошибки при использовании бинарных ортогональных сигналов в релеевском канале.

Рис. 4.72. Вероятность ошибки в релеевском канале для идеального наблюдателя.

При использовании когерентного приема (приема известного сигнала) и ортогональных сигналов, вероятность ошибки для данного значения V определяется уравнениями и (40):

и

Таким образом,

Переходя к полярным координатам и интегрируя, получим

Результат показан на рис. 4.72.

Сравнивая (415) и (411) или рассматривая рис. 4.72, можно прийти к выводу, что идеальное измерение дает выигрыш около 3 дб при больших значениях и ортогональных сигналах. Кроме этого, если бы производилось измерение параметров канала, то можно было использовать равные и противоположные сигналы и получить выигрыш еще 3 дб.

Райсовский канал. Во многих физических каналах помимо релеевской компоненты существует фиксированная (или регулярная) компонента. Типичным примером может служить коротковолновая линия радиосвязи с использованием отражения от ионосферы, работающая на частоте ниже максимально применимой частоты (МПЧ) (см., например, [57—59]). Такие каналы называются райсовскими. Проиллюстрируем теперь поведение канала этого типа в случае бинарной системы связи, использующей ортогональные сигналы. Принимаемые сигналы по двум гипотезам имеют вид

где амплитуда и фаза фиксированной компоненты. Передаваемые сигналы являются ортонормированными. В простейшем случае предполагаются известными (см. задачу 4.5.26 для неизвестного ). При таком допущении можно, не теряя общности, положить Теперь можно записать сигнальную компоненту по гипотезе в виде

И на этот раз независимые нормальные случайные величины

Ожидаемое значение энергии принимаемого сигнала по любой из гипотез равно

где удвоенное отношение энергии регулярной компоненты к средней энергии случайной компоненты.

Обозначим полную амплитуду и фазовый угол принимаемого сигнала через

Плотность вероятности нормированной огибающей и плотность вероятности фазового угла показаны на рис. . Как и следовало ожидать, пик плотности вероятности фазового угла становится весьма узким по мере возрастания у.

Структуру приемника можно синтезировать путем прямой модификации уравнения (398) в (405). Критерий отношения правдоподобия имеет вид

Рис. 4.73. а — плотность вероятности огибающей в райсовском канале; б - плотность вероятности фазы в райсовском канале.

Структура приемника показана на рис. 4.74. Вычисление вероятности ошибки утомительно (см., например, [56]), поэтому запишем окончательный результат

где ожидаемое значение энергии принимаемого сигнала в случайной компоненте, поделенное на Вероятность ошибки представлена графически на рис. 4.75 для типичных значений . Заметим, что соответствует релеевскому каналу, а полностью известному сигналу. Таким образом, даже когда мощность фиксированной компоненты в два раза превышает мощность случайной компоненты, помехоустойчивость системы лежит ближе к релеевскому каналу.

Рис. 4.74 Оптимальный приемник бинарной системы связи в райсовском канале.

Ввиду того, что райсовский канал имеет большое практическое значение, исследованию поведения вероятности ошибки в этом канале при различных условиях посвящено большое число работ (см., например, [56]).

Краткие итоги § 4.4. Как следовало ожидать, формулировка -альтернативной задачи передачи информации следует непосредственно из предыдущих результатов и сопряжена с вычислением вероятности ошибок (см., например, [61] или [153). В главе 3 второго тома будет показано, что релеевский и райсовский каналы представляют частные случаи общей гауссовой задачи.

В настоящем параграфе подробно рассматривались два важных случая, когда компоненты сигнала содержат нежелательные случайные параметры.

Поскольку плотность вероятности считалась известной, оптимальная процедура испытания следовала непосредственно из нашей общей формулировки критерия отношения правдоподобия. Рассмотренные конкретные примеры распределений привели нас к интегралам, которые можно оценить аналитически, а затем — к развернутым структурам приемников. Даже в тех случаях, когда оценить эти интегралы было невозможно, метод построения отношения правдоподобия был для нас ясен.

Рис. 4.75. Вероятность ошибки при использовании бинарных ортогональных сигналов в райсовском канале.

Когда плотность вероятности угла неизвестна, оптимальная процедура совсем неочевидна. Существует две логических возможности:

1. Можно задаться распределением и пользоваться им так, как если бы оно было правильным. Затем можно исследовать зависимость качества оценки от принятой плотности, используя методы анализа устойчивости критериев и оценок, аналогичные тем, которые были продемонстрированы при решении других задач.

2. Можно использовать правило минимакса. В принципе этот путь наиболее прямо ведет к цели. Например, в бинарной задаче из области связи находят как функцию от а затем выбирают максимизирующую и синтезируют приемник для этого случая. Однако у этой процедуры есть два существенных недостатка — ее сложность и заниженные оценки.

Наконец, возможен случай, когда фаза является неслучайной величиной. Для решения этой задачи достаточно распространить методы испытания гипотез, развитые в § 2.5, на случай обработки результатов измерений сигналов. Эти методы прямо приводят к конечным результатам. Во многих практически важных случаях либо существует равномерно наиболее мощный критерий, либо удовлетворительные результаты дает обобщенный критерий отношения правдоподобия. Некоторые интересные примеры разобраны в задачах вне основного текста. Хелстром [14] рассмотрел вопросы приложения обобщенных критериев отношения правдоподобия к радиолокационной задаче обнаружения сигналов с неизвестным временем появления.

1
Оглавление
email@scask.ru