6.3. Фильтры Кальмана-Бьюси

Основная задача и на этот раз заключается в обработке принимаемого колебания с целью получить точечную оценку некоторого полезного сигнала по минимуму среднеквадратической ошибки.

В скалярном случае принимаемое колебание можно записать в виде

где случайные процессы с нулевыми средними значениями и ковариационными функциями и) соответственно, Задача является гораздо более общей, чем данный пример, но для обоснования нашей заинтересованности в исследовании этой проблемы приведенного примера вполне достаточно.

Оптимальное устройство обработки содержит линейный фильтр, который удовлетворяет уравнению

В § 6.2. был рассмотрен частный случай, когда и процессы стационарны. На одном из этапов процедуры решения была найдена функция Мы отметили, что если пропустить белый шум через линейную систему с передаточной функцией то выходной процесс будет иметь спектр Было также установлено, что в

случае белого шума фильтр может быть реализован в виде так называемого канонического фильтра с обратной связью. Оптимальный фильтр в петле обратной связи имеет такие же полюсы, что и линейная система, выходной спектр которой должен быть равным если на ее вход подать белый шум. Единственная трудность заключается в отыскании нулей оптимального фильтра в петле обратной связи.

Для конечного интервала наблюдения необходимо решать (185). В гл. 4 мы имели дело со сходными уравнениями и отметили, что преобразование интегрального уравнения в дифференциальное уравнение с системой граничных условий является целесообразной процедурой.

В ряде примеров было также отмечено, что когда сообщение является скалярным марковским процессом [напомним, что для стационарного нормального процесса это означает, что ковариационная функция имеет вид результаты оказываются значительно проще. Отмеченные особенности плюс значительная доля интуиции позволяют нам высказать следующие соображения о другом подходе к решению задачи, Который может оказаться плодотворным.

1. Вместо описания интересующих нас процессов при помощи их ковариационных функций, следует характеризовать их при помощи линейных, возможно с изменяющимися во времени параметрами, систем, которые генерировали бы их при подаче на входы систем белого шума.

2. Вместо описания линейной системы, генерирующей сообщение, посредством изменяющейся во времени импульсной характеристики следует описывать ее при помощи дифференциального уравнения, решением которого и является искомое сообщение. Наиболее удобным описанием оказывается векторное дифференциальное уравнение первого порядка.

3. Вместо определения оптимальной оценки как выходной величины линейной системы, определяемой интегральным уравнением, следует задавать оптимальную оценку как решение дифференциального уравнения, коэффициенты которого определяются статистикой процессов. Очевидным преимуществом этого метода задания является то, что если даже мы не можем решить дифференциальное уравнение аналитически, то всегда можно легко его решить при помощи аналоговой или цифровой вычислительной машины.

В этом параграфе мы сделаем указанные выводы более корректно и исследуем получаемые результаты.

Прежде всего обсудим кратко представление линейных систем с изменяющимися во времени параметрами при помощи переменных состояния, а также вопросы генерации случайных процессов. Далее выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет оптимальная оценка. И, наконец, рассмотрим некоторые приложения развитого здесь метода.

Оригинальная работа в этой области принадлежит Кальману и Бьюси [23].