3.4.6. Свойства собственных функций и собственных значений

В данном параграфе мы сформулируем два интересных свойства, которые будут полезны при изложении последующего материала.

Свойство монотонности. Рассмотрим интегральное уравнение

где интегрируемая в квадрате ковариационная функция. Это то же самое уравнение, что и (46), только переписано с тем, чтобы подчеркнуть зависимость решения от Каждое собственное значение есть монотонно возрастающая функция длины интервала Доказательство. Умножая обе части (157) на и интегрируя по на интервале имеем

Дифференцируя по получим

Используя (159), получим

При упрощении этого уравнения учтем, что

Дифференцирование (161) дает

В результате подстановки (162) в (160) получим

что и требовалось доказать.

Второе интересующее нас свойство связано с поведением собственных функций и собственных значений стационарных процессов при больших

Асимптотические свойства. Во многих случаях нам приходится иметь дело со стационарными процессами, которые требуется задавать на бесконечном интервале. Для исследования поведения собственных функций и собственных значений вернемся к (46). Предполагается, что процесс является стационарным, а интервал наблюдения бесконечным. Тогда (46) преобразуется к виду

Чтобы завершить решение, вспомним простейшую задачу линейной фильтрации, иллюстрируемую рис. 3.16.

Рис. 3.16. Линейный фильтр.

На входе фильтра имеется воздействие его импульсная характеристика есть на выходе получается процесс Все эти функции связаны интегралом свертки

Из сравнения (164) и (165) видно, что решение (164) есть просто такая функция, которая будучи введенной в линейную систему с импульсной характеристикой выходит из системы, не претерпев никаких изменений, за исключением только амплитуды. Из элементарной теории линейных цепей хорошо известно, что этому условию удовлетворяют комплексные экспоненциальные функции. Таким образом,

есть собственная функция для любых со на вещественной оси. Подставляя (166) в (164), имеем

или

Таким образом, собственное значение для данной со есть значение энергетического спектра процесса на данной частоте.

Теперь единственная трудность в нашем рассуждении заключается в том, что мы уже не имеем счетного множества собственных функций и собственных значений, с которыми могли бы работать, и идея разложения выборочной функции ряд теряет свой смысл. Существует два возможных пути для преодоления указанного затруднения.

1. Вместо того чтобы использовать представление выборочных функций рядами, можно попытаться найти некоторое интегральное представление. Подобное преобразование должно быть аналогичным преобразованию «ряд Фурье — интеграл Фурье» для детерминированных функций.

2. Вместо того чтобы начинать сразу с бесконечного интервала, можно было бы рассмотреть конечный интервал и исследовать поведение аппроксимирующего ряда при увеличении длины интервала. Это могло бы привести к некоторым простым приближенным выражениям для больших

В § 3.5 и 3.6 будет развит первый из указанных методов. Этот метод пригоден при бесконечном интервале, который можно сделать конечным. Второй метод, который мы сейчас изложим, является чисто эвристическим, но приводит к точным результатам и прост в применении.

Начнем с (46) и зададимся пределами

Положим

и будем искать решение в виде

где (Индекс берется по положительным и отрицательным целым числам для удобства.) Положим

Подставляя (171) в (169), имеем

Теперь

Подставляя (174) в (173) и интегрируя по и, получим

Функция в квадратных скобках, показанная на рис. 3.17, симметрична относительно причем ее высота равна Ее ширина обратно пропорциональна а ее площадь равна единице при всех значениях

Рис. 3.17. Весовая функция в выражении (175).

Следовательно, при больших значениях функцию, заключенную в квадратные скобки, приближенно можно считать импульсом на частоте Таким образом,

Следовательно,

и

для больших значений

Из (175) видно, что значение необходимое для того, чтобы указанное приближение было справедливым, зависит от скорости изменения вблизи

В (156) мы столкнулись с бесконечной суммой функций собственных значений

Более часто, однако, мы встречаемся с суммами вида

Приближенное выражение для полезное при больших значениях , следует непосредственно из приведенных выше результатов.

Рис. 3.18. Приближенные собственные значения при больших

На рис. 3.18 изображен типичный спектр и приближенные собственные значения, как это следует из (177). Мы видим, что

где второе равенство вытекает из определения (170). Для больших значений рассматриваемую сумму можно аппроксимировать интегралом

что и является искомым результатом.

Следующие свойства связаны с величиной наибольшего собственного значения.

Максимальные и минимальные собственные значения. Пусть — стационарный случайный процесс, определенный на интервале времени длиной Наибольшее собственное значение удовлетворяет неравенству

для любого интервала Этот результат получается комбинированием (177) со свойством монотонности.

Выражение для другой границы максимального собственного значения следует непосредственно из свойства 10 на стр. 218:

Нижняя граница получена в задаче 3.4.4:

где любая функция единичной энергии на интервале

Асимптотическое свойство, установленное на стр. 242—245, достаточно для большей части нашей работы. Во многих случаях, однако, нам будут желательны менее эвристический метод представления стационарных процессов и бесконечный интервал.

В § 3.6 излагается метод, представления стационарных процессов на бесконечном интервале. К этой проблеме удобно подойти как к предельному случаю периодического процесса. Поэтому в § 3.5 мы делаем краткое отступление и рассматриваем представления периодических процессов.