3.7. Векторные случайные процессы

Во многих случаях, представляющих практический интерес, мы имеем дело сразу с несколькими случайными процессами. Например, в фазированных антенных решетках, используемых в радиолокационных системах, необходимо учитывать ЭДС каждого элемента. Аналогичные проблемы встречаются в решетках гидроакустических и сейсмических систем, где принятый сигнал содержит ряд компонент. В

телеметрических системах одновременно передается несколько сообщений.

Во всех перечисленных случаях удобно иметь дело с одним векторным случайным процессом компоненты которого являются интересующими нас процессами. Если имеется процессов то определяется матрицей-столбцом

Размерность может быть конечной или счетно-бесконечной. Точно так же, как в случае одного процесса, свойства моментов второго порядка описываются при помощи средних значений и ковариационных функций процессов. Кроме этого, необходимо также знать взаимно ковариационные функции различных процессов. Функция средних значений есть вектор

а ковариационные функции могут быть описаны матрицей обозначаемой вектором элементы которой равны

Нам необходимо получить разложение в ряд для векторного случайного процесса Существует несколько возможных представлений, но два из них являются наиболее эффективными. Первый метод заключается в использовании в качестве координатных функций ряда векторных функций при скалярных коэффициентах. Второй метод заключается в использовании в качестве координатных функций ряда скалярных функций при векторных коэффициентах. Для первого метода и конечного нетрудно установить свойства, аналогичные рассмотренным на стр. 217—218. При бесконечном следует быть более осторожными Подробный вывод, который справедлив при бесконечном приведен в [24]. В основном тексте рассматриваются некоторые детали для случая конечного N. В гл. 5 второго тома мы используем результат, полученный для бесконечного без доказательства. Для применения второго метода необходимы дополнительные ограничения. Обратимся вновь к процессам с нулевыми средними.

Метод 1. Векторные собственные функции, скалярные собственные значения. Пусть

где

и

выбраны так, чтобы удовлетворялось уравнение

Заметим, что здесь собственные функции являются векторами, но собственные значения по-прежнему величины скалярные.

Уравнение (248) можно также записать в виде

Скалярные свойства можно установить непосредственно. В частности,

а координатные функции являются ортонормированными, т. е.

или

Матрица

или

Это не что иное, как многомерный аналог (50).

Одно из свойств, которое делает данное разложение полезным, заключается в том, что коэффициент является скалярной величиной, а не вектором. Это обстоятельство интуитивно, пожалуй, воспринимается с трудом. Как это получается, показывает тривиальный пример. Пример. Пусть

где а и независимые случайные величины с нулевыми средними, ортонормированные функции

и

Тогда

Можно доказать, что существуют две векторные собственные функции

и

Таким образом, мы видим, что в данном вырожденном случае в записи коэффициентов можно достичь простоты, если увеличить число векторных собственных функций. Очевидно, это несущественно, когда имеется бесконечное число собственных функций.

Вторым методом представления можно воспользоваться, если ввести комплексные собственные значения.

Метод 2. Матричные собственные значения, скалярные собственные функции.

При использовании данного метода мы полагаем

и

Требуется найти такую систему что

и

Указанные требования приводят к уравнению

Для произвольных интервалов времени (265) не имеет решения, за исключением нескольких тривиальных случаев. Однако, если ограничиться рассмотрением стационарных процессов и больших интервалов времени, то можно получить некоторые асимптотические выражения. Вводя

и считая интервал большим, находим

и

Как и прежде, для строгого рассмотрения случая бесконечного интервала времени необходимо пользоваться интегральным преобразованием

и

Второй метод представления содержит значительный элемент интуитивного подхода в случае большого интервала времени, когда он только и справедлив, однако первый метод позволяет решать задачи более общего класса. По этой причине мы будем пользоваться первым представлением в основном тексте, оставив второй для решения задач.

Трудно оценить важность первого метода разложения, пока не будут разобраны некоторые приложения. Тогда можно убедиться, что он позволяет получать результаты для многомерных задач сравнительно просто. Эта простота объясняется тем, что в данном случае мы все

еще имеем дело со скалярными статистически независимыми случайными величинами.

Следует еще раз подчеркнуть, что мы не доказывали, что рассмотренные представления обладают требуемыми свойствами. Точнее, не было показано, что решения уравнения (248) существуют и имеют необходимые свойства, что справедлив многомерный аналог теоремы Мерсера или что ряд сходится в среднеквадратическом смысле (в [24] это доказывается для первого разложения).