Главная > Теория обнаружения, оценок и модуляции, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.2.2. Качество критерия обнаружения: рабочая характеристика приемника

Чтобы завершить наше обсуждение простой бинарной задачи обнаружения, необходимо оценить качество критерия отношения правдоподобия. Качество критерия Неймана — Пирсона полностью определяется величинами и Нетрудно заметить, что байесов риск в можно найти непосредственно из (42), если известны и Таким образом задача состоит в вычислении

Начнем с рассмотрения примера 1, обсуждавшегося в § 2.2.1.

Пример 1. Из (25) следует, что эквивалентный критерий можно записать в виде

Чтобы нормировать последующие вычисления, здесь произведено умножение (25) на При гипотезе критерий I находят путем сложения независимых нормальных случайных величин, имеющих нулевые средние и дисперсию и последующего деления на Следовательно, I есть

При гипотезе критерий I есть . Плотности вероятности при этих гипотезах представлены графически на рис. 2.8, а. Там же отмечен порог. Очевидно, что есть просто площадь под кривой вправо от линии порога, т. е.

где расстояние между средними значениями двух распределений. Интеграл (64) табулирован и приводится во многих книгах (например или ). Обычно пользуются сокращенным обозначением:

где - сокращение от error function - функция ошибок, дополнительная функция ошибок. В этих обозначениях

Аналогично, численно равна площади под кривой вправо от линии порога, как показано на рис. 2.8, б:

На рис. 2.9, а представлена зависимость от при различных значениях причем взято в качестве изменяющегося параметра. При и устройство обработки всегда выбирает гипотезу Следовательно,

Рис. 2.8. Вероятности ошибок: а — вычисление ; б - вычисление

По мере увеличения вероятности и уменьшаются. Когда устройство обработки всегда выбирает гипотезу Как и следовало ожидать из рис. 2.8, достоверность возрастает монотонно с увеличением На рис. 2.9, б эта зависимость представлена в другом

виде; в качестве аргумента взято а параметром является Для заданного можно получить любую точку на кривой путем соответствующего выбора

Изображенную на рис. 2.9, а зависимость называют рабочей характеристикой приемника (РХП). Она полностью описывает достоверность испытания (качество критерия) в функции интересующего нас параметра.

Рис. 2.9. Рабочая характеристика приемника: а — случай гауссовых случайных величин с неодинаковыми средними значениями; б - зависимость вероятности обнаружения от d.

Частным случаем, который будет иметь большое зачение при рассмотрении систем связи, является случай, когда мы стремимся свести к минимуму полную вероятность ошибки

Порог для этого критерия определяется выражением (40). Для частного случая, когда порог и

Подставив (67) и (68) в (69), имеем

Из (70) видно, что выражение для можно также получить, используя РХП. Однако, если интерес представляет только установка порога, то, вообще говоря, проще вычислить непосредственно.

Прежде чем рассчитать достоверность обнаружения для остальных двух примеров, стоит указать две простые границы дополнительной

Рис. 2.10. Графики функции и других связанных с ней функций.

функции ошибок . Они дадут нам возможность рассматривать ее примерное поведение в аналитической форме. Для

Эту границу можно получить путем интегрирования по частям (см. задачу 2.2.15 или в [30]). Второй границей служит

которую также весьма просто вывести (см. задачу 2.2.16). Четыре соответствующие кривые представлены на рис. 2.10. Легко видеть, что спадает экспоненциально.

Рабочие характеристики приемника для двух других примеров также представляют интерес.

Пример 2. В этом случае критерий записывается в виде

Расчет качества критерия для произвольного несколько утомителен, поэтому мы отложим его до § 2.6. Особенно простой и часто встречающийся в практике случай соответствует По гипотезе координаты независимые нормальные случайные величины с нулевыми средними и с дисперсиями, равными

Для оценки выражения, стоящего в правой части (74), перейдем к полярным координатам:

Тогда

Интегрируя по переменной , получим

Замечаем, что - достаточная статистика, равная Заменяя переменные, получим

(Отметим, что плотность вероятности достаточной статистики — функция экспоненциальная).

Аналогично

Для построения РХП можно объединить (78) и (79), чтобы исключить порог у. Это дает

В логарифмической форме

Как и ожидалось, достоверность обнаружения улучшается монотонно по мере увеличения отношения Более подробно мы исследуем этот случай и его обобщения в § 2.6.

Два пуассоновских распределения составляют третий пример.

Пример 3. Из (38) критерий отношения правдоподобия (КОП) имеет вид

Но

Ввиду того, что принимает только целочисленные значения, удобнее переписать (82) в виде

где принимает только целочисленные значения. Используя (35), имеем

а из (36)

Результирующая РХП для некоторых значений представлена на рис. 2.11, а. Видим, что она состоит из ряда точек и что при изменении порога от 0 до I изменяется от I до Допустим теперь, что нужно получить промежуточное значение скажем

Рис. 2.11. Рабочая характеристика приемника: а — задача Пуассона; б - при рандомизированном правиле решения.

Для достижения заданной достоверности обнаружения поступим следующим образом. Обозначив как КОП, а КОП с как КОП, получим следующую таблицу:

Для получения требуемой величины используем КОП № 0 с вероятностью 0,5 и КОП № 1 с вероятностью 0,5. Алгоритм испытания состоит в следующем:

Подобная процедура, в которой некоторым вероятностным образом объединяются два критерия отношения правдоподобия, носит название рандомизированного правила решения. Результирующая вероятность представляет собой просто взвешенную комбинацию вероятностей обнаружения для двух испытаний:

Мы видим, что РХП для рандомизированных испытаний представляет собой прямые линии, которые соединяют точки рис. 2.II, а, как показано на рис. 2.11, б. Причиной того, что мы встречаемся с рандомизированным критерием, является то обстоятельство, что наблюдаемые случайные величины дискретны. Поэтому есть дискретная случайная величина, и если использовать обычный критерий отношения правдоподобия, то возможны лишь определенные значения

Рассматривая выражения для в уравнении (56) и заменяя пороговую величину на , получаем

Если величина является непрерывной функцией мы можем получить заданную величину в пределах от 0 до 1 путем соответствующего выбора и поэтому рандомизированные испытания никогда не потребуются. Этот пример является единственным интересующим нас в дальнейшем результатом (см. задачу 2.2.12).

Используя результаты данных примеров, как исходные, установим теперь несколько общих свойств рабочих характеристик приемника. Ограничимся рассмотрением случая непрерывных критериев отношения правдоподобия.

Два свойства любых РХП вытекают непосредственно из приведенного примера.

Свойство 1. Все непрерывные критерии отношения правдоподобия имеют которые обращены вогнутостью вниз. Если бы это было не так, то рандомизированный критерий был бы лучше. Но это противоречило бы нашему утверждению, что критерий отношения правдоподобия оптимален (см. задачу 2.2.12).

Свойство 2. Все непрерывные критерии отношения правдоподобия имеют которые проходят выше линии Это всего лишь частный случай свойства 1, так как точки имеются на всех

Свойствб 3. Тангенс угла наклона РХП в некоторой точке равен значению порога необходимому для достижения в этой точке.

Доказательство:

Дифференцируя оба выражения по и записывая результаты в виде отношения, имеем

Покажем теперь, что

Пусть

Тогда

где последнее равенство вытекает из определения отношения правдоподобия. Используя определение последний интеграл можно переписать в виде

Дифференцируя (93) по получаем

Приравнивая выражение для в числителе (89) к правой части (94), получаем требуемый результат.

Мы видим, что этот результат не противоречит примеру 1. Тангенс угла наклона кривых рис. 2.9, а при отличном от нуля, равен нулю в точке и бесконечности в точке

Рис. 2.12. Определение рабочей точки при минимаксном критерии.

Свойство 4. Если максимальное значение баейсова риска принадлежит к интервалу на оси то минимаксная рабочая точка есть точка пересечения прямой

и соответствующей РХП [см. (46)]. На рис. 2.12 показан частный случай, определяемый уравнением (50),

график которого нанесен на РХП примера 1. Мы видим, что он начинается в точке и пересекает линию в точке, где

Этим завершается рассмотрение задачи испытания двух гипотез. В заключение еще раз выделим несколько основных положений.

1. Какой бы критерий мы не использовали — Байеса или Неймана — Пирсона — оптимальным испытанием является проверка

отношения правдоподобия. Следовательно, независимо от мерности пространства наблюдений испытание сводится к сравнению скалярной величины с порогом. (Мы полагаем непрерывной).

2. Во многих случаях структуру алгоритма проверки отношения правдоподобия можно упростить, если можно установить достаточную статистику. Геометрически эта статистика есть та координата в соответствующей координатной системе, описывающей пространство наблюдений, которая содержит всю необходимую для принятия решения информацию.

3. Полное описание качества критерия отношения правдоподобия было получено путем построения зависимостей условных вероятностей от порога . Результирующей РХП можно пользоваться для вычисления байесова риска при любом наборе стоимостей. Во многих случаях интерес представляет только одно значение порога и знания всей РХП не обязательно.

Ряд интересных бинарных испытаний рассмотрен в задачах.

1
Оглавление
email@scask.ru