Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2.2. Качество критерия обнаружения: рабочая характеристика приемникаЧтобы завершить наше обсуждение простой бинарной задачи обнаружения, необходимо оценить качество критерия отношения правдоподобия. Качество критерия Неймана — Пирсона полностью определяется величинами Начнем с рассмотрения примера 1, обсуждавшегося в § 2.2.1. Пример 1. Из (25) следует, что эквивалентный критерий можно записать в виде
Чтобы нормировать последующие вычисления, здесь произведено умножение (25) на При гипотезе
где
где
Аналогично,
На рис. 2.9, а представлена зависимость
Рис. 2.8. Вероятности ошибок: а — вычисление По мере увеличения виде; в качестве аргумента взято Изображенную на рис. 2.9, а зависимость называют рабочей характеристикой приемника (РХП). Она полностью описывает достоверность испытания (качество критерия) в функции интересующего нас параметра.
Рис. 2.9. Рабочая характеристика приемника: а — случай гауссовых случайных величин с неодинаковыми средними значениями; б - зависимость вероятности обнаружения от d. Частным случаем, который будет иметь большое зачение при рассмотрении систем связи, является случай, когда мы стремимся свести к минимуму полную вероятность ошибки
Порог для этого критерия определяется выражением (40). Для частного случая, когда
Подставив (67) и (68) в (69), имеем
Из (70) видно, что выражение для Прежде чем рассчитать достоверность обнаружения для остальных двух примеров, стоит указать две простые границы дополнительной
Рис. 2.10. Графики функции функции ошибок
Эту границу можно получить путем интегрирования по частям (см. задачу 2.2.15 или в [30]). Второй границей служит
которую также весьма просто вывести (см. задачу 2.2.16). Четыре соответствующие кривые представлены на рис. 2.10. Легко видеть, что Рабочие характеристики приемника для двух других примеров также представляют интерес. Пример 2. В этом случае критерий записывается в виде
Расчет качества критерия для произвольного
Для оценки выражения, стоящего в правой части (74), перейдем к полярным координатам:
Тогда
Интегрируя по переменной
Замечаем, что
(Отметим, что плотность вероятности достаточной статистики — функция экспоненциальная). Аналогично
Для построения РХП можно объединить (78) и (79), чтобы исключить порог у. Это дает
В логарифмической форме
Как и ожидалось, достоверность обнаружения улучшается монотонно по мере увеличения отношения Два пуассоновских распределения составляют третий пример. Пример 3. Из (38) критерий отношения правдоподобия (КОП) имеет вид
Но Ввиду того, что
где
а из (36)
Результирующая РХП для некоторых значений
Рис. 2.11. Рабочая характеристика приемника: а — задача Пуассона; б - при рандомизированном правиле решения. Для достижения заданной достоверности обнаружения поступим следующим образом. Обозначив
Для получения требуемой величины
Подобная процедура, в которой некоторым вероятностным образом объединяются два критерия отношения правдоподобия, носит название рандомизированного правила решения. Результирующая вероятность
Мы видим, что РХП для рандомизированных испытаний представляет собой прямые линии, которые соединяют точки рис. 2.II, а, как показано на рис. 2.11, б. Причиной того, что мы встречаемся с рандомизированным критерием, является то обстоятельство, что наблюдаемые случайные величины дискретны. Поэтому Рассматривая выражения для
Если величина Используя результаты данных примеров, как исходные, установим теперь несколько общих свойств рабочих характеристик приемника. Ограничимся рассмотрением случая непрерывных критериев отношения правдоподобия. Два свойства любых РХП вытекают непосредственно из приведенного примера. Свойство 1. Все непрерывные критерии отношения правдоподобия имеют Свойство 2. Все непрерывные критерии отношения правдоподобия имеют Свойствб 3. Тангенс угла наклона РХП в некоторой точке равен значению порога Доказательство:
Дифференцируя оба выражения по
Покажем теперь, что
Пусть
Тогда
где последнее равенство вытекает из определения отношения правдоподобия. Используя определение
Дифференцируя (93) по
Приравнивая выражение для Мы видим, что этот результат не противоречит примеру 1. Тангенс угла наклона кривых рис. 2.9, а при
Рис. 2.12. Определение рабочей точки при минимаксном критерии. Свойство 4. Если максимальное значение баейсова риска принадлежит к интервалу
и соответствующей РХП [см. (46)]. На рис. 2.12 показан частный случай, определяемый уравнением (50),
график которого нанесен на РХП примера 1. Мы видим, что он начинается в точке
Этим завершается рассмотрение задачи испытания двух гипотез. В заключение еще раз выделим несколько основных положений. 1. Какой бы критерий мы не использовали — Байеса или Неймана — Пирсона — оптимальным испытанием является проверка отношения правдоподобия. Следовательно, независимо от мерности пространства наблюдений испытание сводится к сравнению скалярной величины 2. Во многих случаях структуру алгоритма проверки отношения правдоподобия можно упростить, если можно установить достаточную статистику. Геометрически эта статистика есть та координата в соответствующей координатной системе, описывающей пространство наблюдений, которая содержит всю необходимую для принятия решения информацию. 3. Полное описание качества критерия отношения правдоподобия было получено путем построения зависимостей условных вероятностей Ряд интересных бинарных испытаний рассмотрен в задачах.
|
1 |
Оглавление
|