3.2. Детерминированные функции, ортогональные представления

Рассмотрим функцию которая определена на интервале как показано на рис. 3.4. Предполагается, что энергия этой функции имеет некоторое конечное значение

Рис. 3.4. Ограниченная во времени функция.

Далее предполагается некоторый способ задания функции Для любого мы знаем значение функции Однако можно потребовать задания функции посредством счетного множества чисел. Простой пример из предыдущего параграфа предполагает написание

где — некоторый ряд (множество) ортонормированных функций. Например, можно выбрать ряд синусоид и косинусоид

В связи с этим возникает ряд математических и практических вопросов. К числу математических вопросов относятся следующие.

1. Поскольку практически можно использовать только конечное число коэффициентов, то как следует выбирать коэффициенты, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку приближения (или представления)?

2. Нам хотелось бы, чтобы по мере увеличения среднеквадратическая ошибка приближенийчобращалась в нуль. Когда это имеет место?

Вопрос практического порядка заключается в следующем.

Если колебание принимается в виде напряжения, то каким образом можно генерировать коэффициенты экспериментально?

Рассмотрим сначала математические вопросы. Ошибка представления при использовании членов равна

Энергия ошибки составляет

Требуется минимизировать эту энергию для любого путем соответствующего выбора Дифференцируя по некоторому конкретному приравнивая результат нулю и решая относительно получим

Так как вторая производная яляется положительной постоянной величиной, то определяемое (12), обеспечивает абсолютный минимум. Выбор коэффициентов при увеличении не меняется ввиду ортонормальности рассматриваемых функций.

Рассмотрим теперь энергию, содержащуюся в ошибке представления при

Так как величина не отрицательная, ошибка является монотонно убывающей функцией

Если

для всех с конечной энергией, то говорят, что полный ортонормальный ряд на интервале для класса функций с конечной энергией. Смысл полноты ряда очевиден. При использовании большего числа коэффициентов ошибка представления

убывает. Вообще говоря, желательно иметь возможность уменьшать энергию ошибки до сколь угодно малойвеличины, задаваясь достаточно большим

Заметим, что для полных ортонормальных рядов

Уравнение (15) есть просто запись теоремы Парсеваля. Отметим также, что х представляет энергию конкретной компоненты сигнала.

Два возможных способа построения системы коэффициентов Показаны на рис. 3.5. В первой системе умножается на и интегрируется на промежутке

Рис. 3.5. Генерация коэффициентов разложения: а - корреляционная операция; б — фильтровая операция.

Эта операция носит название корреляционной. Во второй системе мы пропускаем через набор линейных фильтров с импульсными характеристиками и наблюдаем выходные напряжения в момент времени Нетрудно видеть, что отсчет напряжения на выходе фильтра равен

Для конкретной используемой импульсной характеристики эту величину можно записать в виде

В гл. 2 было показано, что удобно рассматривать результаты наблюдений как точку в -мерном пространстве. Позднее мы убедимся, что столь же полезно считать, что указанных коэффициентов определяют собой точку в пространстве. Для произвольных сигналов может потребоваться пространство с бесконечным числом измерений.

Таким образом, сигнал, имеющий конечную энергию, может быть представлен как вектор.

На рис. 3.6 изображены два сигнала —

Соответствующие сигнальные векторы записываются в виде

Рис. 3.6. Представление сигнала в виде вектора.

Из изложенного непосредственно следует несколько выводов.

1. Квадрат длины (модуля) сигнального вектора равен энергии сигнала

2. Коэффициент корреляции между двумя сигналами определяется как

Подставляя (17а) в (19), имеем

С учетом ортонормальности координатных функций интеграл (20) равен

Числитель (21) представляет собой скалярное произведение векторов Заменяя в знаменателе (21) и их значениями из (18), получим

Очевидным достоинством векторно-пространственной интерпретации сигналов является то, что она позволяет нам при работе с колебаниями использовать известные геометрические представления.

Распространим теперь эти представления на случайные колебания.