2.4. Поведение отдельных реализаций и эргодические результаты

Как уже отмечалось, все результаты предыдущего раздела справедливы и в частном случае данного детерминированного сигнала Сохраняются определения спектров, их преобразований (теорема 2.2) и формула связи между спектрами и периодограммами (лемма 2.1), знак математического ожидания можно отбросить и интерпретировать операцию как вычисление

В подобных результатах, которые не используют вероятностных рассуждений, можно найти некоторую прелесть: ведь как бы то ни было, наблюдается только одна реализация, почему нужно считать, что это реализация случайного процесса, и описывать ее средние характеристики, взятые по ансамблю возможных наблюдений. На этот вопрос есть два ответа. Один из них состоит в том, что этот прием упрощает вычисления. Другой апеллирует к тому, что это позволяет нам проинтерпретировать результаты многократного повторения эксперимента.

Тем не менее, позволительно спросить, совпадают ли спектры сигнала определенные в рамках вероятностных концепций и по единственной фактически наблюдаемой реализации, рассматриваемой как заданный детерминированный сигнал? Эта задача относится к эргодической теории, и мы начнем с того, что сформулируем следующий достаточно общий результат.

Теорема 2.3. Пусть квазистационарный сигмы и Допустим также, что

где последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними, и ограниченными четвертыми моментами; равномерно устойчивое семейство фильтров. Тогда при с вероятностью I имеют место следующие предельные соотношения:

Доказательство приводится в Приложении

Эта теорема достаточно существенна. Она утверждает, что в условиях, когда стохастическая компонента сигнала может быть описана как фильтрованный белый шум (формула (2.86)), спектр единственной наблюдаемой реализации рассчитываемый как спектр детерминированного сигнала, с вероятностью 1 совпадает со спектром процесса который определяется путем вычислений средних по ансамблю по формуле (2.61).

Это утверждение ослабляет различие между детерминированными и случайными сигналами на уровне, ограниченном рассмотрением их свойств второго порядка. Сигнал спектром может рассматриваться как реализация белого шума с дисперсией X во всех задачах, связанных с характеристиками второго порядка.

Теорема дает также ответ на вопрос, как соотносится теоретический спектр, определяемый на основе физически неосуществимых конструкций с фактически наблюдаемой периодограммой (2.43). В соответствии с теоремой 2.3 и леммой 2.1 сглаженные версии при больших будут выглядеть как Сравните рис. 2.7 и 2.8. Эта связь между нашими теоретическими конструкциями и реальными данными несомненно имеет фундаментальное значение. См. раздел 6.3.