Приложение 2А. Доказательство теоремы 2.2

Проведем доказательство для многомерного случая. Пусть для и рассмотрим

Условившись, что при можно записать

Если при то к добавляется пренебрежимо малая величина

Пусть

Очевидно, что и внутренняя сумма в формуле отличаются самое большее слагаемыми, каждое из которых в соответствии с (2.58) ограничено величиной С. Таким образом,

Определим теперь

Тогда

Первая сумма стремится к поскольку система устойчива. Из устойчивости следует, что

(см. задачу 2.4). Следовательно, две последние суммы в стремятся к 0 при Рассмотрим теперь вторую сумму в формуле Для произвольного выбирается такое что

где

Это возможно, поскольку система устойчива. Затем подбирается такое что для

Это возможно, так как

квазистационареи) и так как учитывается только конечное число членов разложения равномерная сходимость не нужна). Теперь для вторая сумма в формуле оказывается ограниченной величиной

которая в соответствии с неравенством меньше, чем Отсюда следует, что и вторая сумма в формуле стремится к 0 при что и доказывает равенство 0 предела правой части неравенства а следовательно, квазистационарность

Доказательство существования математического ожидания проводится по аналогии и проще технически.

Теперь находим, что

Таким образом, формула (2.77) доказана. Доказательство формулы (2.78) проще и устанавливается по аналогии.