Главная > Идентификация систем. Теория для пользователя
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.3. Выражения асимптотической дисперсии

В этом разделе будем рассматривать асимптотическую матрицу ковариаций оценок метода ошибки предсказания в случае, когда истинное описание системы по существу содержится в множестве моделей.

квадратичный критерий. Предположим, что выполняются условия теоремы 8.3. Тогда последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними значениями и дисперсиями Из (9.6) и (9.9) имеем

поскольку белый шум (см. также задачу 9D.1). Аналогично,

Последнее равенство вытекает из того факта, что формируется только из Следовательно, из (9.11) получаем

Этот результат имеет естественную интерпретацию. Так как градиент, видно, что асимптотическая точность оценивания определенного параметра связана с тем,

насколько чувствительно предсказание относительно этого параметра. Ясно, что чем больше параметр влияет на предсказание, тем легче будет определить его величину. Очень важной и полезной стороной выражений асимптотической матрицы ковариаций типа (9.17) является возможность оценивания ее по наблюдениям. Имея обработанные данные в точках и вычисленную оценку можно использовать

как оценку Относительно случая, когда почти принадлежит множеству моделей см. задачу 9 G.3.

Пример 9.1. Ковариации оценок Рассмотрим систему

Входная последовательность белый шум с дисперсией I, не зависящий от последовательности которая также является белым шумом и имеет дисперсию Допустим, что коэффициент при и известен, а идентификация системы производится с помощью структуры модели

или

используя квадратичный критерий ошибки предсказания.

Таким образом, этом случае получаем оценку МНК (7.34). Имеем

Следовательно,

Чтобы вычислить ковариации, возводим обе части равенства (9.20) в квадрат и берем математическое ожидание. Это дает

при стандартных обозначениях (2.61). (Здесь использовано соотношение (8.27) для вычисления Умножая (9.20) на и переходя к математическому ожиданию, получаем

где последнее равенство вытекает из того, что и не на (благодаря временной задержке). Следовательно,

и

Пример 9.2. Ковариация параметра.

Рассмотрим систему

белый шум с дисперсией Используем структуру модели

приводящую к предсказателю (4 18):

Дифференцирование дает

При имеем

Если оценка параметра с, полученная по методу ошибки предсказания, то в соответствии с (9,17) имеем

Общая критериальная функция не зависящая от . Рассмотрим теперь общий критерий (9.12) с (нет явной зависимости от Предположим, что Тогда, при условии из (9.13) и (9.14) непосредственными вычислениями находим

Здесь первая и вторая производные от относительно ее аргумента.

Очевидно, для квадратичной функции Это подтверждает (9.17) как частный случай (9.29) и (9.30). Интересно отметить, что выбор в критерии влияет только на масштабирование матрицы ковариаций.

Асимптотическая граница Крамера-Рао. Граница Крамера-Рао (7.79) применяется для произвольной несмещенной оценки и любого Она может быть переписана в виде

Обозначая плотность распределения вероятностей через , можно убедиться, что

где определяется соотношением (7.76), а функция формулой (9.30). Таким образом, асимптотическая матрица ковариаций равна пределу (при ) границы Крамера-Рао, если выбрана как . В этом случае оценка метода ошибки предсказания (совпадающая при таком выборе с оценкой метода максимального правдоподобия) имеет наилучшие возможные асимптотические свойства, на которые только можно надеяться.

Квадратичный критерий, параметризованы независимо Вернемся теперь к случаю теоремы 8.4, когда параметризованы независимо, может точно описываться моделью, что не обязательно выполняется для .

Предположим, что выполняются все условия теоремы 8,4 и, кроме того,

и

Положим

где предельная и истинная (в соответствии с модели шума. Тогда имеем

и

Более того, если то

Поскольку независимы, вне диагональные блоки матрицы (9.37) будут нулевыми (блоки, соответствующие декомпозиции в на Аналогично, будет блочно-диагональной и, следовательно, такой же вид будет иметь Сосредоточим теперь внимание на блоке, соответствующем Обозначим

представляющую собой детерминированную величину (не зависящую от Здесь градиент относительно Тогда

Определим

Тогда

Аналогично, для верхнего левого блока (9.37)

Теперь можно сформулировать результат:

В предположениях теоремы 8.4 и (9.33)

где

Оценки и асимптотически не коррелируют.

Этот результат можно распространить на более общие нормы аналогично случаю

Очевидно, когда а значит этот результат совпадает с (9.17).

Пример 9.3. Ковариации оценки по ошибке на выходе,

Рассмотрим опять систему (9.20), на этот раз вместе с моделью структуры

или

Это - модель с ошибкой на выходе. Очевидно, даст правильное описание передаточной функции, в то время как свойства шума (9 20) не могут быть верно описаны моделью (9.43), поскольку

Таким образом, в этой ситуации можно применить результат (9.42). Находим, что

при вычислении в точке Для (9.34) имеем

Следовательно,

Спектры имеют вид

откуда могут быть вычислены дисперсии, как в Приложении Это даст выражения

и, таким образом, в соответствии с (9.42) дисперсия

Многомерный случай Рассмотрим случай, когда -мерный вектор, а

Формулы (9.9) - (9.14) по-прежнему применимы. Предполагая получим, что последовательность независимых векторов с нулевыми средними, а непосредственные вычисления дают

Здесь -матрица -матрицы:

Для квадратичного критерия (7.27),

находим, что

и

где

Если матрицу весов в критерии выбрать равной из (9.47) получим

См. также задачу и обсуждение в разделе 15.2.

1
Оглавление
email@scask.ru