Глава 15. ВЫБОР КРИТЕРИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Выбор критерия идентификации — это одно из важнейших решений, которое принимается в процессе идентификации системы. Мы уже систематизировали избыточность списка альтернатив в гл. 7 и указали перечень возможных вариантов выбора в разделе 12.1. Отдельные вопросы и результаты, относящиеся к разным методам, упоминались нами в предыдущих главах. Целью данной главы является объединение этих разрозненных результатов и исчерпывающее обсуждение того влияния на свойства получающихся оценок, которое оказывает выбор конкретных решений.

Общие вопросы рассматриваются в разделе 15.1. Частная задача о выборе нормы для метода ошибки предсказания (7.120) или о выборе формообразующей функции из (7.122) изучается в разделе 15.2. В разделе 15.3 исследуются вопросы оптимизации метода инструментальных переменных и приближенных реализаций оптимальных методов. Раздел 15.4 содержит общую сводку некоторых основных рекомендаций, обращенных к пользователю.

15.1. Общие вопросы

Два основных подхода (7.120) и (7.121) включают следующие возможности выбора.

Для методов ошибки предсказания:

- норма

- множество моделей шума включая выбор предварительного фильтра

- горизонт предсказания к (альтернативно рассматриваемый как модель шума, см. (3.32)).

Для корреляционных методов:

- формообразующая функция а

- предварительный фильтр

- корреляционный вектор

Отметим, что при (модель с фиксированным шумом) и

методы ошибки предсказания переходят в частный случай корреляционных методов.

Основной результат в области исследования влияния этих возможностей на качество оценок заключается в результатах о сходимости (8.104) и (8.105), косвенно говорящих о величине рассогласования полученной модели, а также асимптотических дисперсионных свойствах (9.97) и (9.98), которые имеют место, когда смещением можно пренебречь. Полезной оказывается также граница Крамера - Рао (7.79).

О смещении оценок. В том частном случае, когда истинная система линейна и при квадратичном критерии влияние выбора проектных переменных на величину смещения лучше оценивать в частотной области; см. соотношения и интерпретацию (8.106). В рамках методов ошибки предсказания мы в гл. 13 уже рассматривали то влияние, которое оказывает на распределение смещения выбор предварительных фильтров, моделей шума и горизонтов планирования. Воздействие, оказываемое выбором предварительного фильтра и частотного наполнения члена в уравнении (8.103), конечно, аналогично. Это следует помнить в выборе проектных переменных и прежде всего потому, что минимизация дисперсии может привести к нежелательному увеличению смещения.

О дисперсии. Оптимизация (в данном случае минимизация) дисперсии - это задача более простая, чем оптимизация смещения, поскольку для дисперсии есть явные формулы. Кроме того, как известно из гл. 9, при использовании метода максимального правдоподобия нижняя граница Крамера — Рао асимптотически достижима и, в каком-то смысле, ответ известен еще до решения оптимизационной задачи, состоящей из следующих этапов:

— наилучший выбор плотность вероятности истинного обновляющего процесса);

- наилучший выбор модели шума, т. е. описания истинного шума (быть может, оценочного);

- наилучший выбор

— наилучший выбор метода инструментальных переменных, чтобы он оказался равноценным методу ошибки предсказания.

При этом, как мы увидим, оценки метода максимального правдоподобия могут не быть наилучшими для всех случаев. Дело в рассмотренных ранее эффектах смещенности оценок или в чувствительности оценок к априорной информации, которая может быть неточна.