6.5. Оценивание спектра шума

До сих пор рассматривались вопросы оценивания в соотношении (6.1):

Перейдем теперь к проблеме оценивания спектра процесса Если бы шум был доступен для прямого измерения, можно было бы использовать (6.48):

Здесь частотное окно того же типа, как и ранее.

Свойства оценки (6.73) можно установить с помощью такого же анализа, какой был проведен в предыдущем разделе. Имеем:

смещение

дисперсия

Более того, оценки для различных частот асимптотически некоррелированы.

Спектр невязки. Далее снова считаем, что шум в (6.72) не доступен прямому измерению. Однако, имея оценку передаточной функции, можно заменить в предыдущем выражении на

что приводит к оценке

Если сформирована по (6.46) с тем же окном это выражение может быть преобразовано следующим образом (используя

Здесь приближенное равенство следует из замены гладкой функции окрестности точки ее значением при . Следовательно, имеем

Асимптотически, при когда в соответствии с получаем, что оценка (6.77) стремится к (6.73). Асимптотические свойства (6.74) и (6.75) будут теми же и для (6.77) и (6.78). Кроме перечисленных уже свойств можно отметить, что оценки асимптотически некоррелированы Более того, совместное распределение является асимптотически нормальным со средним и дисперсиями, определяемыми соотношениями (6.58) - (6.64) и (6.74), (6.75). Подробное изложение асимптотической теории представлено в монографии Бриллингера [63, гл. 6]. Когерентность спектров. Обозначим

Тогда

Функцию можно называть когерентностью спектров и рассматривать как (зависящий от частоты) коэффициент корреляции между входной и выходной

последовательностями. Если на некоторой частоте этот коэффициент равен 1, то на этой частоте имеет место полная корреляция между входной и выходной величинами. Следовательно, на этой частоте шума нет, что подтверждается соотношением (6.80).