4.7. Заключение

В этой главе нами изучены множества предсказателей вида

Они находятся во взаимно однозначном соответствии с модельными описаниями

где белый шум, причем это соответствие устанавливается с помощью следующих соотношений:

Обычно при выборе модели гораздо удобнее оказывается формула (4.145), даже если в качестве рабочей модели используется (4.144).

Мы обозначили параметризованные множества моделей, ипи модельные структуры, символом а конкретную модель, соответствующую значению параметра в, - символом Такая параметризация является инструментальным средством процедур поиска наилучшей модели. При осуществлении выбора на параметризованных множествах моделей можно руководствоваться двумя разными идеями.

1. Структуры моделей черного ящика. В этом случае принципиальная идея заключается в том, чтобы гибко сформировать множества моделей, которыми можно аппроксимировать широкое разнообразие систем, не вникая в их внутреннее устройство. К этому тииу моделей относятся входо-выходные модели разд. 4.2 и канонически параметризованные модели в пространстве состояний (см. пример 4.2).

2. Модельные структуры с физическими параметрами. Здесь идея состоит в том, чтобы учесть в множестве моделей физические особенности описываемой системы, описав набором настраиваемых параметров только то, что действительно неизвестно о системе. Типичным примером таких структур могут служить модели в пространстве состояний с непрерывным временем.

В этой главе также выписаны формальные условия на прогнозирующие фильтры (определение 4.3) и рассмотрены представления о параметрической идентифицируемости (т.е. о возможности использования прогнозирующих фильтров для однозначного восстановления значения параметра в). Для наиболее типичных модельных структур черного ящика эти свойства систем были исследованы в разд. 4.6 и Приложении 4А. Окончательный вывод из полученных результатов

состоит в том, что при надлежащем выборе некоторых порядков характеристик можно обеспечить и идентифицируемость системы. Число таких порядковых характеристик обычно равняется числу выходов системы.

4.8. Комментарии к библиографии

Как уже отмечено, выбор параметрического множества моделей оказывает решающее воздействие на решение задачи идентификации. Именно в этом проявляется связь между предметом идентификации систем и методами параметрического оценивания. Поэтому большинство статей и книг по идентификации систем включает материалы но модельным структурам, хотя, быть может, и не так явно, как в нашей книге.

Простейшая модель ошибки уравнения (4.7) изучена всесторонне. См., например, в связи с задачами идентификации работы Острема [19], Хзиа [183], Менделя [287] и Унбехауна, Геринга и Байера [412]. Линейные модели типа (4.12) представляют собой основной объект статистических исследований, см., например, Рао [335] и Дрейпер и Смит [101]. ARMAX-модель была введена в идентификации систем Остремом и Бохлином [27] и с тех пор является основной моделью. Модельная структура ARARX была введена в литературу по управлению Кларком [82], но несомненно, что впервые была упомянута в работе Кочрейна и Оркатта [83] по математической статистике. Введение термина "исевдолинейная регрессия” применительно к уравнению (4.21) принадлежит Соло [380|. Модели выходной ошибки рассматривались, в частности, Дугардом и Ландау [103] и Кабайла [195]. Общее семейство (4.33) впервые было рассмотрено в работе Льюнга [248] и использовалось Льюнгом и Седерстремом в работе [262]. Многомерные дробно-матричные представления обсуждаются в работах Кайлата [198] и Диккинсона, Кайлата и Морфа [100]. Соответствующие правые дробно-матричные представления для уравнения (4.56), когда все обратные матрицы находятся в правой части, рассмотрены Нехораи и Морфом [304]. При отсутствии входных сигналов соответствующие модели сводятся к AR-, МА- и ARMA-представлениям. Они исследуются в ряде учебников по временным рядам (например, Бокс и Дженкинс [62], Хэннан [163] и Бриллин-гер [631).

Непрерывные модели передаточных функций тина черного ящика (4.47) изучены применительно к многим задачам управления (см., например, Уэбб и Седерстрем [423]). Зиглер и Николс [455] определяют параметры таких моделей по реакциям на единичный скачок или автоколебательным режимам (см., раздел 6.1). В работе Янга [4471 можно найти обзор по непрерывным во времени моделям и их оцениванию.

Модели в пространстве состояний, заданные в форме обновлений или в общем виде, описаны в типовых учебниках по теории управления (например, Острем и Виттенмарк [32]). Вопросы использования непрерывных представлений в процессе оценивания но дискретным данным рассмотрены, в частности, в работах Мера и Тайлера [286] и Острема и Чэллстрема [29]. Введение непрерывной по времени модельной структуры обычно характерно для первого этапа моделирования. Описание общих методов моделирования и примеры можно найти, например, в работах Уэллстеда [426] и Николса [307].

Исследованию моделей с распределенными параметрами и методами их оценивания посвящены, в частности, работы Бэнкса, Краули и Куниша [35], Кубрусли [217], Креши, и Гудвина [330] и Полиса и Гудсона [324]. Экспериментальное исследование примера 4.3 описывается в работе [231].

Прогностические возможности моделей отмечены в работах Льюнга [239], [245]. Вопросы идентифицируемости изучаются с самых разных позиций, см. обзор

Нгуена и Вуда [306]. Идентифицируемость часто связывают со сходимостью оценок параметров. Соответствующие определения можно найти у Острема и Бохлина [27], Стейли и Ю [385] и Це и Антона [408]. Только в работе Беллмана и Острема [40] понятие идентифицируемости было введено в связи с понятием струк гуры модели и названо "структурной идентифицируемостью”. Определение идентифицируемости в связи с множеством моделей (определено в (4.131)) было дано Густавссоном, Льюнгом и Седерстремом [154]. Частные определения ионятий модельной структуры и идентифицируемости, данные в разделе 4.5, приводятся впервые.

Более общей по сравнению с определением 4.3 концепцией модельной структуры явилось бы переосмысливание введенных конструкций при допущении, что является дифференцируемым многообразием (см., например, Бирнес [69]). Однако в нашем случае эта возможность учитывается введением предположения о том, что множество моделей представляется в виде объединения (перекрывающихся) областей модельных структур типа (4.126). Для линейных систем соответствующая структура впервые была рассмотрена Калманом [205], Хазвинкелем и Калманом [175] и Кларком [81]. См. также работу Бирнеса и Херта [70].

Анализ идентифицируемости одномерной модели из раздела 4.6 заимствован в основном из работы Острема и Бохлина [27].

Вопросы идентифицируемости многомерных модельных структур изложены в множестве статей. См., например, работы Кайлата [198], Луенбергера [268], Главера и Виллемса [135], Риссанена [337], Льюнга и Риссанена [261], Гвидорци [151], Геверса и Уёртса [134], ван Овербэка и Льюнга [312] и Корреа и Главера [86].

4.9. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)