Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ, ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ

Описания систем, приведенные в гл. 2, можно использовать при решении самых разнообразных задач проектирования в реальных системах управления. В этой главе мы обсудим некоторые из них, преследуя сразу две цели. Во-первых, окажется, что разработка методов идентификации существенно использует идеологию прогнозирования будущих значений сигналов. И, как результат, формулы, приведенные в п. 3.2, станут инструментальным средством в последующем изложении. Во-вторых, описывая примеры использования моделей систем, мы получим некоторое представление о тех требованиях к описаниям, которые обеспечат адекватность моделей целям их использования. Решая задачи идентификации, мы будем руководствоваться тем соображением, что важно согласовать усилия, затрачиваемые на построение модели системы, с ее предполагаемым применением. В этой главе мы считаем, что описание системы представляется формулой (2.93):

3.1. Моделирование

Чаще всего описание системы используется для того чтобы промоделировать реакцию системы при различных входных сценариях, т.е. попросту рассчитать, используя соотношение (3.1), невозмущенный выходной сигнал

при подаче на вход системы выбранной пользователем входной последовательности Результат расчета определяет тот сигнал, который наблюдался бы на выходе системы, если бы никаких отклонений (возмущений) от описания (3.1) не было. Для оценивания влияния возмущений используется генератор случайных чисел, реализованный на ЭВМ и воспроизводящий последовательность чисел которая может рассматриваться как реализация случайного процесса, являющегося белым шумом с дисперсией Теперь величину возмущения можно рассчитать как

Соответствующим образом предъявляя пользователю сигналы можно сформировать у него представление о реакции системы на входной сигнал

Этот подход к оценке поведения системы в разных условиях, основанный на экспериментах с моделью (3.1), а не с реальным физическим объектом, нашел широкие применения во всех технических дисциплинах и несомненно отражает наиболее общий путь использования математических описаний. Строго говоря, модели, используемые, например, в пилотных тренажерах или тренажерах операторов атомных электростанций, намного сложнее модели (3.1), однако и в их основе лежит та же общая идея (см. также гл. 5).

3.2. Прогнозирование

Начнем с обсуждения того, как предсказывать будущие значения сигнала который описывается уравнением вида

Чтобы эта запись была осмысленной, предполагается, что система устойчива, т.е.

Обратимость модели шума. К модели (3.4) предъявляется существенное требование ее обратимости, т.е. возможности расчета сигнала при заданном по формуле

где

Как же определить фильтр Ответ содержится в следующей лемме.

Лемма 3.1 Рассмотрим сигнал определенный выражением (3.4), и допустим, что фильтр Нустойчив. Пусть

и пусть функция аналитическая в области

Определим фильтр соотношением

Так, определенный фильтр удовлетворяет (3.6).

Замечание. Существование для функции (3.8) означает также устойчивость фильтра Краткости ради мы будем говорить, что фильтр является устойчивым по обращению.

Доказательство. Из формул (3.7) и (3.8) следует, что

отсюда вытекает

Пусть теперь сигнал определен формулой (3.4). Тогда в силу (3.10)

что и доказывает лемму.

Замечание. Лемма показывает, что существует большая аналогия между свойствами фильтра и функции Тот факт, что выражение для обратного

фильтра можно получить посредством вычисления величины, обратной к функции не является тривиальным и формулируется в виде леммы. Однако все основные соотношения выполняются одновременно для и и в чисто практическом плане небесполезно иметь возможность свободно выбирать между фильтром и соответствующим z-преобразованием. См. также задачу

Лемма показывает, что уравнение обратного фильтра (3.6) естественным образом соотносится с уравнением исходного фильтра (3.4). В плане определения этого фильтра можно также записать

Необходимо только, чтобы функция была аналитической в области т.е. чтобы у нее не было полюсов вне открытого единичного круга. Можно было бы перефразировать это условие, постулируя отсутствие нулей у функции внутри замкнутого единичного круга. Это вполне согласуется с утверждением о возможности спектральной факторизации (см. , в соответствии с которым для любого рационального, строго положительного спектра всегда можно найти представление обладающее этими свойствами.

Пример 3.1. Процесс скользящего среднего.

Допустим, что

т. е.

В соответствии с формулой (2.85) - это процесс скользящего среднего порядка Тогда функция

имеет полюс в точке и нуль в точке который при лежит внутри единичного круга. В этом случае обратный фильтр определяется по формуле

а можно восстановить из формулы (3.12), записав

Одношаговый прогноз процесса v. Предположим теперь, что мы наблюдаем значения для и хотим, используя эти наблюдения, предсказать значение Так как функция Я моническая, имеем

Далее знание значений предопределяет в силу (3.6) знание значений Таким образом, в момент известен второй член в правой части формулы (3.13). Обозначим его :

Пусть все значения одинаково распределены и общая плотность вероятности распределения обозначена

Это распределение не зависит от других значений поскольку это последовательность независимых случайных величин. Таким образом, в момент времени можно утверждать, что к моменту процесс окажется в интервале между с вероятностью Это можно перефразировать следующим образом:

(апостериорная) функция плотности вероятности значения при заданных наблюдениях до момента может быть записана как

Формально это можно представить в виде следующей цепочки преобразований:

Здесь обозначает условную вероятность события А при заданном . Это наиболее общее утверждение, которое может быть высказано о значении процесса в момент Часто ограничиваются заданием только одной величины, которая характеризует это вероятностное распределение и, таким образом, служит прогнозом Она может быть выбрана как точка максимума плотности , наиболее вероятное значение и называемое также прогнозом по максимуму апостериорной вероятности Однако мы будем чаще пользоваться средним значением рассматриваемого распределения, условным средним обозначаемым Поскольку среднее значение величины равно 0, имеем

Нетрудно установить, что условное среднее минимизирует также среднеквадратическое отклонение ошибки предсказания:

где минимум ищется на множестве всех функций от См. задачу 3D.3.

Выпишем более удобное выражение для Используя (3.6) и (3.11), находим

Применяя преобразование к обеим сторонам, получим альтернативную запись

Пример 3.2. Процесс скользящего среднего.

Рассмотрим процесс (3.12). Формула (3.16) показывает, что прогноз можно представить в виде

Иначе можно определить следуя примеру 3.1, и, используя формулу (3.15), получить

Пример 3.3. Процесс авторегрессии.

Рассмотрим процесс

Тогда

откуда следует, что

и в соответствии с (3.15), прогноз записывается как

Одношаговый прогноз процесса у. Рассмотрим описание (3.1) и допустим, что для известны значения Так как

то известны также значения для Используя эту информацию, хотелось бы спрогнозировать величину

Очевидно, что используя формулы (3.15) и (3.19), можно записать условное математическое ожидание при задании указанной информации в виде

Приведение подобных членов дает

или

Напомним, что эти выражения представляют собой краткую запись соответствующих разложений. Например, пусть определяется как

(это разложение существует при если функция не имеет нулей, а полюсов в области Тогда (3.20) означает, что

Неизвестные начальные условия. До сих пор использовалось предположение о том, что доступны полные записи данных от до Однако на практике информация доступна только в интервале . Проще всего было бы, заменив все недостающие данные, например, нулями, получить из (3.23)

Но следует отдавать себе отчет в том, что теперь получается только аппроксимация настоящего условного математического ожидания при данных из интервала точный прогноз войдут переменные коэффициенты фильтра и его можно получить с помощью фильтра Калмана Однако в практическом плане формула (3.24) будет определять приемлемое решение. Это объясняется тем, что обычно коэффициенты экспоненциально убывают с ростом к (см. задачу 3G.1).

Ошибка предсказания. Из формул (3.20) и (3.1) мы находим величину ошибки предсказания :

Таким образом, переменная отражает ту часть выходного сигнала которая не может быть спрогнозирована по данным о прошлом. По этой причине она называется обновлением в момент

k-шаговый прогноз Рассмотрев несколько подробнее особенности задачи одношагового предсказания, нетрудно поставить следующую обобщенную задачу: Допустим, что наблюдались значения для и нужно спрогнозировать значения Имеем

Определим теперь

Вторая сумма в правой части (3.26) в момент времени известна, тогда как первая сумма не зависит от происшедшего до момента и имеет нулевое среднее. Отсюда условное среднее и при заданном записывается как

Это выражение определяет -шаговый прогноз и.

Предположим теперь, что имеется наблюдение уж и известно и на основе этой информации желательно спрогнозировать Как и выше, имеем

откуда следует, что

Введем

Теперь простые преобразования формулы (3.28) дают

или, используя первое равенство в (3.29),

Это выражение вместе с формулами (3.27) и (3.29) определяет -шаговый прогноз у. Заметим, что этот прогноз можно также рассматривать как одношаговый прогноз для модели

Ошибка предсказания может быть найдена из (3.30) в виде

Здесь во втором и четвертом равенствах использована формула (3.29). В соответствии с многочлен от стенени к — 1. Таким образом, ошибка предсказания представляет собой скользящее среднее величин .

Многомерный случай. В многомерном варианте модели (3.1) (или (2.88)) определяется матричный фильтр

Здесь - -матрицы, определяемые разложением матричной функции

Это разложение может быть проинтерпретировано для каждого элемента матрицы (с помощью стандартных процедур обращения матриц). Оно существует при и условии, что не имеет нулей при . С так определенной все предыдущие выкладки и формулы переносятся на многомерный случай.